2005-山东卷理-05 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理中各项系数之和的赋值求法以及指定项系数的通项求解。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(理)） 如果 ${\left(3x-\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\right)}^n$ 的展开式中各项系数之和为 128，则展开式中 $\frac{1}{x^3}$ 的系数是()

A. 7　　　　　　　B. -7　　　　　　　C. 21　　　　　　　D. -21

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $x=1$ 求出展开式中各项系数之和，由 $2^n=128$ 解得 $n=7$。
2. 写出二项式展开式的通项公式，令 $x$ 的指数等于 $-3$，求出 $r$ 的值，进而计算出对应项的系数。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

在 ${\left(3x-\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\right)}^n$ 中，令 $x=1$，得各项系数之和为： $(3-1{)}^n=2^n=128⟹n=7$

原式可变形为 ${\left(3x-x^{-\frac{2}{3}}\right)}^7$，其展开式的通项公式为： $T_{r+1}=C_7^r(3x{)}^{7-r}{\left(-x^{-\frac{2}{3}}\right)}^r=C_7^r{3}^{7-r}(-1{)}^r{x}^{7-r-\frac{2}{3}r}=C_7^r{3}^{7-r}(-1{)}^r{x}^{7-\frac{5}{3}r}$

求 $\frac{1}{x^3}=x^{-3}$ 的系数，令 $x$ 的指数等于 $-3$： $7-\frac{5}{3}r=-3⟹\frac{5}{3}r=10⟹r=6$

将 $r=6$ 代入通项公式的系数部分，得 $\frac{1}{x^3}$ 的系数为： $C_7^6\cdot 3^{7-6}\cdot (-1{)}^6=7\times 3\times 1=21$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$、系数和的赋值法。
2. 核心方法：通项公式法。
3. 避坑指南：

• 准确将根式化为负分数指数幂，即 $\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}=x^{-\frac{2}{3}}$。
• 注意包含负号的项在偶数次幂下 $(-1{)}^6=1$ 的符号更替，避免误选负数选项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由常规二项式定理指定项系数问题改编而成，通过首步“各项系数之和”隐蔽给出幂次 $n$。
2. 结论推广：求解多项式 $f(x)$ 展开式中各项系数之和，其通用方法为计算 $f(1)$ 的值；求奇数项系数之和为 $\frac{f(1)+f(-1)}{2}$，偶数项系数之和为 $\frac{f(1)-f(-1)}{2}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)