2005-山东卷理-03 单-三角函数的二倍角公式

本题导读

本题考查三角函数的二倍角公式化简、最小正周期以及对称中心的求解。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(理)） 已知函数 $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{12}\right)\cos \left(x-\frac{\pi }{12}\right)$，则下列判断正确的是()

A. 此函数的最小正周期为 $2\pi$，其图象的一个对称中心是 $\left(\frac{\pi }{12},0\right)$

B. 此函数的最小正周期为 $\pi$，其图象的一个对称中心是 $\left(\frac{\pi }{12},0\right)$

C. 此函数的最小正周期为 $2\pi$，其图象的一个对称中心是 $\left(\frac{\pi }{6},0\right)$

D. 此函数的最小正周期为 $\pi$，其图象的一个对称中心是 $\left(\frac{\pi }{6},0\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 逆用正弦的二倍角公式将函数式化简为单一正弦函数形式 $y=\frac{1}{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$。
2. 利用公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 计算最小正周期。
3. 令整体角等于 $k\pi$ 求解对称中心横坐标，通过令 $k=0$ 验证选项。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

利用正弦二倍角公式 $\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta$，将原函数变形化简： $y=\frac{1}{2}\cdot 2\sin \left(x-\frac{\pi }{12}\right)\cos \left(x-\frac{\pi }{12}\right)$ $y=\frac{1}{2}\sin \left[2\left(x-\frac{\pi }{12}\right)\right]=\frac{1}{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$

由 $\omega =2$ 可得该函数的最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$ （据此排除 A、C 选项）

令 $2x-\frac{\pi }{6}=k\pi$ ($k\in \mathbb{Z}$)，解得其对称中心的横坐标为： $2x=k\pi +\frac{\pi }{6}⟹x=\frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{12}(k\in \mathbb{Z})$

当 $k=0$ 时，解得 $x=\frac{\pi }{12}$。 因此，$\left(\frac{\pi }{12},0\right)$ 是该函数图象的一个对称中心。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角公式的逆用、正弦型函数的周期与对称中心。
2. 核心方法：整体角代换法。
3. 避坑指南：计算周期时注意 $\omega =2$ 使得周期减半；寻找对称中心时注意是令整个括号内的相位角等于 $k\pi$，切勿直接用正弦曲线最原始的 $(k\pi ,0)$ 进行机械平移。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中关于“函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$ 的性质”基本复习题，侧重考查基础公式化简与图象性质的识记。
2. 结论推广：对于形如 $y=a\sin (\omega x+\phi )\cos (\omega x+\phi )$ 的函数，其本质等价于 $y=\frac{a}{2}\sin (2\omega x+2\phi )$，对应的周期变为 $\frac{\pi }{|\omega |}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

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