2005-山东卷理-02 单-反函数的求法

本题导读

本题考查反函数的求解方法以及有理分式函数图象的平移与渐近线特征。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(理)） 函数 $y=\frac{1-x}{x}(x\ne 0)$ 的反函数图象大致是()

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通过反解 $x$ 求出原函数的反函数解析式。
2. 分析反函数图象的渐近线位置与所处象限，对比选项得出正确结果。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

将原函数解析式变形为： $y=\frac{1}{x}-1$

移项得： $y+1=\frac{1}{x}$

解得： $x=\frac{1}{y+1}$

交换 $x,y$，得到反函数的解析式为： $y=\frac{1}{x+1}(x\ne -1)$

该函数图象可由基础反比例函数 $y=\frac{1}{x}$ 的图象向左平移 1 个单位得到：

• 垂直渐近线由 $x=0$ 变为 $x=-1$；
• 水平渐近线仍为 $y=0$；
• 图象分布在各自变量区间的分支一、三象限（相对于新渐近线交点 $(-1,0)$）。

对照选项，只有 B 选项的渐近线为 $x=-1$ 且分支方向正确。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数的代数求解、函数图象的几何变换。
2. 核心方法：特征性质（渐近线、特殊点）排除法。
3. 避坑指南：平移变换时注意“左加右减”原则，分母为 $x+1$ 对应向左平移，渐近线变为 $x=-1$，切勿错记为向右平移。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中反函数概念与常见初等函数图象性质的经典结合，侧重考查数形结合思想。
2. 结论推广：对于一般的线性分式函数 $y=\frac{ax+b}{cx+d}$，其反函数公式为 $y=\frac{-dx+b}{cx-a}$，其垂直渐近线固定为 $x=\frac{a}{c}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练 (Links)