2005-山东卷理-01 单-复数的代数运算

本题导读

本题考查复数的代数四则运算与乘方基本性质。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(理)） $\frac{1-\text{i}}{(1+\text{i}{)}^2}+\frac{1+\text{i}}{(1-\text{i}{)}^2}=$()

A. $\text{i}$　　　　　　　B. $-\text{i}$　　　　　　　C. 1　　　　　　　D. -1

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用常用结论 $(1\pm \text{i}{)}^2=\pm 2\text{i}$ 先行化简两个分式的分母。
2. 代入后进行通分与因式约分求值。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

因为 $(1+\text{i}{)}^2=2\text{i}$，$(1-\text{i}{)}^2=-2\text{i}$， 代入原式得： $\frac{1-\text{i}}{2\text{i}}+\frac{1+\text{i}}{-2\text{i}}=\frac{1-\text{i}-(1+\text{i})}{2\text{i}}=\frac{-2\text{i}}{2\text{i}}=-1$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：虚数单位 $\text{i}$ 的基本运算（${\text{i}}^2=-1$）。
2. 核心方法：特殊复数公式代换法。
3. 避坑指南：熟记 $(1\pm \text{i}{)}^2=\pm 2\text{i}$ 可大幅减少直接通分展开带来的计算量。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题为高考复数板块的最基础运算题，完全考查教材基本功。
2. 结论推广: 形如 $\frac{1-\text{i}}{1+\text{i}}=-\text{i}$ 且 $\frac{1+\text{i}}{1-\text{i}}=\text{i}$，该结论常用于复数高次幂的化简。

🔗【关联脉络】

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