2005-山东卷文-20 解-长方体中的空间角与距离

本题导读

本题考查长方体中异面直线所成的角、二面角与点到平面的距离。核心在于由线面角定出长方体参数，再用空间向量统一处理三问。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(文)） 如图，已知长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$，$AB=2$，$A{A}_1=1$，直线 $BD$ 与平面 $A{A}_1{B}_{1}B$ 所成的角为 $30^{\circ }$，$AE$ 垂直 $BD$ 于 $E$，$F$ 为 $A_1{B}_1$ 的中点．

(1) 求异面直线 $AE$ 与 $BF$ 所成的角；

(2) 求平面 $BDF$ 与平面 $A{A}_{1}B$ 所成的二面角（锐角）的大小；

(3) 求点 $A$ 到平面 $BDF$ 的距离． （图见配图）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建系 $B$ 为原点，由 $\sin 30^{\circ }=\frac{w}{\sqrt{w^2+4}}$ 定 $w^2=\frac{4}{3}$。
2. (1) 设 $E=t\overrightarrow{BD}$ 由垂直定 $t$，算夹角。
3. (2)(3) 法向量求二面角与距离。

✅【答案】

Success

(1) $\arccos \frac{\sqrt{2}}{4}$ (2) $\arccos \frac{\sqrt{15}}{5}$ (3) $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

建立直角坐标系，令 $B=(0,0,0)$，$C=(w,0,0)$，$A=(0,2,0)$，$D=(w,2,0)$，竖直方向为 $z$ 轴．则平面 $A{A}_1{B}_{1}B$ 为平面 $x=0$，且 $\overrightarrow{BD}=(w,2,0)$．由直线与平面所成角的定义，$\sin 30^{\circ }=\frac{w}{\sqrt{w^2+4}}$，即 $\frac{w^2}{w^2+4}=\frac{1}{4}$，解得 $w^2=\frac{4}{3}$，$w=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．此时 $A_1=(0,2,1)$，$B_1=(0,0,1)$，故 $F=(0,1,1)$． (1) 设 $E=t\overrightarrow{BD}$．由 $AE\perp BD$，有 $(\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BE})\cdot \overrightarrow{BD}=0$，从而 $t=\frac{3}{4}$，所以 $E=\left(\frac{3w}{4},\frac{3}{2},0\right)$．因此 $\overrightarrow{AE}=\left(\frac{3w}{4},-\frac{1}{2},0\right)$，$\overrightarrow{BF}=(0,1,1)$．于是 $\left|\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{BF}\right|=\frac{1}{2}$，$\left|\overrightarrow{AE}\right|=\sqrt{\frac{9w^2}{16}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}=1$，$\left|\overrightarrow{BF}\right|=\sqrt{2}$．设所成角为 $\theta$，则 $\cos \theta =\frac{1/2}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$，所以 $\theta =\arccos \frac{\sqrt{2}}{4}$． (2) 平面 $BDF$ 的一个法向量为 $\overrightarrow{BD}\times \overrightarrow{BF}=(2,-w,w)$，平面 $A{A}_{1}B$ 的法向量为 $(1,0,0)$．所以两平面所成锐二面角 $\phi$ 满足 $\cos \phi =\frac{2}{\sqrt{4+2w^2}}=\frac{2}{\sqrt{\frac{20}{3}}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$，故 $\phi =\arccos \frac{\sqrt{15}}{5}$． (3) 由法向量可知平面 $BDF$ 的方程为 $2x-wy+wz=0$．点 $A=(0,2,0)$ 到该平面的距离为 $\frac{\left|0-2w+0\right|}{\sqrt{4+2w^2}}=\frac{2w}{\sqrt{4+w^2+w^2}}=\frac{2\times \frac{2\sqrt{3}}{3}}{\frac{2\sqrt{15}}{3}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$． 注：答案册印 $w=2\sqrt{3}$ 系漏印分母，按 $|AE|=1$ 与 (3) 距离 $\frac{2}{\sqrt{5}}$ 自洽复算应 $w=\frac{2\sqrt{3}}{3}$；答案册 (2) 印 $\cos \phi =\frac{\sqrt{3}}{5}$ 系 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$ 的文本层压扁，按复算录 $\frac{\sqrt{15}}{5}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：长方体中的空间角与距离

核心方法：建系定 $w=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，向量法求角与距离

避坑指南：$\sin 30^{\circ }=\frac{w}{\sqrt{w^2+4}}$ 解出 $w^2=\frac{4}{3}$（答案册 $w=2\sqrt{3}$ 系漏印分母，按自洽值录）；(2) 的余弦是 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ 不是 $\frac{\sqrt{3}}{5}$（答案册文本层压扁 $\sqrt{3}/\sqrt{5}$）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 2 立体几何与空间向量

结论推广：建系 $B(0,0,0)$、$A(0,2,0)$、$F(0,1,1)$；$\cos \theta =\frac{\sqrt{2}}{4}$（异面角）、$\cos \phi =\frac{\sqrt{15}}{5}$（二面角）、$d=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

方法推广：线面角定义给方程定参数；异面角、二面角、点面距全部化归为向量模与数量积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷II理-20 解-线面垂直
• 2017-全国卷II文-20 解-轨迹方程
• 2008-大纲Ⅱ文-20 解-正四棱柱垂直二面角