2005-山东卷文-17 解-向量模与三角求值

本题导读

本题考查向量模的平方展开与三角恒等变换。核心在于把模条件化为其角余弦，再由角的范围限定分支并用半角公式求值。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(文)） 已知向量 $\vec{m}=(\cos \theta ,\sin \theta )$ 和 $\vec{n}=\left(\sqrt{2}-\sin \theta ,\cos \theta \right)$，$\theta \in (\pi ,2\pi )$，且 $\left|\vec{m}+\vec{n}\right|=\frac{8\sqrt{2}}{5}$，求 $\cos \left(\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{8}\right)$ 的值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\vec{m}+\vec{n}=(\cos \theta -\sin \theta +\sqrt{2},\sin \theta +\cos \theta )$，平方展开。
2. 得 $\cos \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{7}{25}$，由 $\theta$ 范围定 $\theta +\frac{\pi }{4}=2\pi -\gamma$。
3. $\cos \left(\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{8}\right)=\cos \left(\pi -\frac{\gamma }{2}\right)=-\cos \frac{\gamma }{2}$。

✅【答案】

Success

因此|m+ n|2 = 4+2√2(cos θ−sin θ)

✍【详细解析】

Abstract

由题意，$\vec{m}+\vec{n}=\left(\cos \theta -\sin \theta +\sqrt{2},\sin \theta +\cos \theta \right)$，其模的平方为 $(\cos \theta -\sin \theta {)}^2+2\sqrt{2}(\cos \theta -\sin \theta )+2+(\sin \theta +\cos \theta {)}^2=4+2\sqrt{2}(\cos \theta -\sin \theta )$．代入已知条件得 $4+2\sqrt{2}(\cos \theta -\sin \theta )=\frac{128}{25}$，从而 $\cos \theta -\sin \theta =\frac{7\sqrt{2}}{25}$，即 $\cos \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\cos \theta -\sin \theta }{\sqrt{2}}=\frac{7}{25}$． 因为 $\theta \in (\pi ,2\pi )$，所以 $\theta +\frac{\pi }{4}\in \left(\frac{5\pi }{4},\frac{9\pi }{4}\right)$．令 $\gamma =\arccos \frac{7}{25}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，在此区间内余弦值为 $\frac{7}{25}$ 的角只有 $\theta +\frac{\pi }{4}=2\pi -\gamma$．于是 $\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{8}=\frac{\theta +\frac{\pi }{4}}{2}=\pi -\frac{\gamma }{2}$，故 $\cos \left(\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{8}\right)=-\cos \frac{\gamma }{2}$．又 $\sin \gamma =\frac{24}{25}$，$\cos \frac{\gamma }{2}=\sqrt{\frac{1+\cos \gamma }{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{7}{25}}{2}}=\frac{4}{5}$．因而所求值为 $-\frac{4}{5}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量模与三角求值

核心方法：模平方展开得 $\cos \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{7}{25}$，再半角

避坑指南：$\theta \in (\pi ,2\pi )$ 定 $\theta +\frac{\pi }{4}\in \left(\frac{5\pi }{4},\frac{9\pi }{4}\right)$，此区间内余弦为正的只有 $2\pi -\gamma$ 一支；开方定号别丢负

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 4 三角恒等变换

结论推广：$|\vec{m}+\vec{n}{|}^2=4+2\sqrt{2}(\cos \theta -\sin \theta )$，得 $\cos \left(\theta +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{7}{25}$；$\cos \left(\frac{\theta }{2}+\frac{\pi }{8}\right)=-\sqrt{\frac{1+\frac{7}{25}}{2}}=-\frac{4}{5}$

方法推广：向量模问题平方展开化为其角余弦；角范围限定分支后用半角公式并按区间定号

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2020-新课标II文-17 解-解三角形
• 2017-全国卷III理-17 解-解三角形
• 2016-全国卷I理-17 解-解三角形