2005-山东卷文-04 单-二倍角化简与对称中心

本题导读

本题考查二倍角公式的化简，以及三角函数周期与对称中心的判断。

📌【题干】

Question

（2005年山东卷(文)） 已知函数 $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{12}\right)\cos \left(x-\frac{\pi }{12}\right)$，则下列判断正确的是()

A. 此函数的最小正周期为 $2\pi$，其图象的一个对称中心是 $\left(\frac{\pi }{12},0\right)$

B. 此函数的最小正周期为 $\pi$，其图象的一个对称中心是 $\left(\frac{\pi }{12},0\right)$

C. 此函数的最小正周期为 $2\pi$，其图象的一个对称中心是 $\left(\frac{\pi }{6},0\right)$

D. 此函数的最小正周期为 $\pi$，其图象的一个对称中心是 $\left(\frac{\pi }{6},0\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $u=x-\frac{\pi }{12}$，$y=\frac{1}{2}\sin 2u=\frac{1}{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$。
2. 周期 $\pi$；令 $2x-\frac{\pi }{6}=k\pi$ 验对称中心。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

令 $u=x-\frac{\pi }{12}$，则 $y=\sin u\cos u=\frac{1}{2}\sin 2u=\frac{1}{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$．因此最小正周期为 $\frac{2\pi }{2}=\pi$．当 $x=\frac{\pi }{12}$ 时，$2x-\frac{\pi }{6}=0$，函数值为 $0$，且函数关于该点中心对称，所以一个对称中心为 $\left(\frac{\pi }{12},0\right)$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角化简与对称中心

核心方法：降幂 $y=\frac{1}{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ 验两选项

避坑指南：周期看 $2x$ 系数得 $\pi$；对称中心令 $2x-\frac{\pi }{6}=k\pi$，$x=\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}$，别只取 $k=0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 4 三角恒等变换

结论推广：$\sin u\cos u=\frac{1}{2}\sin 2u$；本题 $y=\frac{1}{2}\sin \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$

方法推广：乘积式先降幂化为 $A\sin (\omega x+\phi )$，周期与对称中心从 $\omega x+\phi$ 统一读取

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷III理-04 单-二倍角公式
• 2012-大纲卷文-04 单-二倍角与象限符号
• 1990-全国卷理-04 单-三角方程的根的个数