2005-天津卷理-21 解-抛物线的标准方程与几何性质

本题导读

本题核心考查抛物线的几何性质以及直线与抛物线的相交综合问题。第一问考查抛物线标准方程的转化；第二问利用直线与抛物线联立，结合韦达定理与定比分点公式证明几何定势；第三问利用向量数量积或斜率夹角关系解决角度范围约束问题。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(理)） 抛物线 $C$ 的方程为 $y=a{x}^2$ ($a<0$)，过抛物线 $C$ 上一点 $P(x_0,y_0)$ ($x_0\ne 0$) 作斜率为 $k_1,k_2$ 的两条直线分别交抛物线 $C$ 于 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 两点 ($P,A,B$ 三点互不相同)，且满足 $k_2+\lambda k_1=0$ ($\lambda \ne 0,\lambda \ne -1$).

(1) 求抛物线 $C$ 的焦点坐标和准线方程；

(2) 设直线 $AB$ 上一点 $M$，满足 $\overrightarrow{BM}=\lambda \overrightarrow{MA}$，证明线段 $PM$ 的中点在 $y$ 轴上；

(3) 当 $\lambda =1$ 时，若点 $P$ 的坐标为 $(1,-1)$，求 $\angle PAB$ 为钝角时点 $A$ 的纵坐标 $y_1$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：将 $y=a{x}^2$ 化为标准方程 $x^2=\frac{1}{a}y$，由 $a<0$ 确定开口方向，直接写出焦点坐标与准线方程。
2. 第二问：联立直线 $PA,PB$ 与抛物线，利用韦达定理与定比分点坐标公式表达 $M$ 的横坐标，再由 $k_2+\lambda k_1=0$ 化简得 $x_M=-x_0$，从而中点横坐标为 $0$。
3. 第三问：令 $\lambda =1$ 得 $k_2+k_1=0$，由（2）的结果确定 $x_2$ 与 $x_1$ 的关系，再将 $\angle PAB$ 为钝角转化为 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}<0$，解不等式得 $x_1$ 范围，最后映射到 $y_1$。

✅【答案】

Success

(1) 焦点 $\left(0,\frac{1}{4a}\right)$，准线 $y=-\frac{1}{4a}$；

(2) 证明见解析（$PM$ 的中点横坐标为 $0$，即中点在 $y$ 轴上）；

(3) 点 $A$ 的纵坐标 $y_1$ 的取值范围是 $(-\infty ,-1)\cup \left(-1,-\frac{1}{4}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解

将抛物线方程 $y=a{x}^2$ （$a<0$）变形为标准方程形式： $x^2=\frac{1}{a}y$ 因为 $a<0$，抛物线开口向下，其焦点在 $y$ 轴负半轴，准线在 $y$ 轴正半轴。 令 $2p=-\frac{1}{a}⟹p=-\frac{1}{2a}$。

• 焦点坐标为： $\left(0,\frac{1}{4a}\right)$；

• 准线方程为： $y=-\frac{1}{4a}$。

(2)证明

设直线 $PA$ 的斜率为 $k_1$，则直线 $PA$ 的方程为： $y-y_0=k_1(x-x_0)$ 将直线方程与抛物线方程 $y=a{x}^2$ 联立，消去 $y$ 得： $a{x}^2-k_{1}x+k_1{x}_0-y_0=0$

因为点 $P(x_0,y_0)$ 在抛物线上，即满足 $y_0=a{x}_0^2$。 由一元二次方程的韦达定理知，两根之和为： $x_0+x_1=\frac{k_1}{a}⟹k_1=a(x_0+x_1)$ 同理，联立直线 $PB$ 可得： $k_2=a(x_0+x_2)$

将 $k_1,k_2$ 代入已知条件 $k_2+\lambda k_1=0$ 中： $a(x_0+x_2)+\lambda a(x_0+x_1)=0$ 由于 $a<0$，两边同除以 $a$ 并展开整理得： $x_2+\lambda x_1+(1+\lambda )x_0=0⟹x_2+\lambda x_1=-(1+\lambda )x_0\text{(1)}$

设点 $M$ 的坐标为 $(x_M,y_M)$。 由已知条件 $\overrightarrow{BM}=\lambda \overrightarrow{MA}$，根据线段定比分点坐标公式，点 $M$ 的横坐标为： $x_M=\frac{x_2+\lambda x_1}{1+\lambda }$ 将 ① 式代入上式分子中： $x_M=\frac{-(1+\lambda )x_0}{1+\lambda }=-x_0$

设线段 $PM$ 的中点为 $N(x_N,y_N)$，其横坐标为： $x_N=\frac{x_0+x_M}{2}=\frac{x_0+(-x_0)}{2}=0$ 因为中点的横坐标恒为 0，所以线段 $PM$ 的中点必在 $y$ 轴上。

(3)解

当 $\lambda =1$ 且 $P(1,-1)$ 时，由 $y_0=a{x}_0^2$ 得 $-1=a\cdot 1^2⟹a=-1$。 此时抛物线方程为 $y=-x^2$，且由（2）中 ① 式知： $x_2+x_1+2=0⟹x_2=-2-x_1$

直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB}$ 为： $k_{AB}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-x_2^2-(-x_1^2)}{x_2-x_1}=-(x_1+x_2)=-(-2)=2$

由（2）知直线 $PA$ 的斜率为： $k_1=a(x_0+x_1)=-(1+x_1)$

要使 $\angle PAB$ 为钝角，需满足直线 $AP$ 与直线 $AB$ 的方向向量夹角为钝角。 在平面上，由于 $A,P,B$ 三点互不相同，该条件等价于： $\cos \angle PAB<0⟺\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}<0$ 利用坐标展开数量积： $\overrightarrow{AP}=(1-x_1,-1-y_1),\overrightarrow{AB}=(x_2-x_1,y_2-y_1)=(x_2-x_1)(1,k_{AB})=(x_2-x_1)(1,2)$ 所以： $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AB}=(1-x_1)(x_2-x_1)+(-1-y_1)(y_2-y_1)=(x_2-x_1)\cdot \left[(1-x_1)+2(-1-y_1)\right]<0$ 因为 $x_2=-2-x_1$，所以 $x_2-x_1=-2-2x_1=-2(x_1+1)$。代入上式并结合 $y_1=-x_1^2$： $-2(x_1+1)\cdot \left[1-x_1-2+2x_1^2\right]<0⟹(x_1+1)(2x_1^2-x_1-1)>0$ 对多项式进行因式分解： $(x_1+1)(2x_1+1)(x_1-1)>0$ 解此高次不等式，得 $x_1$ 的初选范围为： $-1<x_1<-\frac{1}{2}\text{或}{x}_1>1$

同时需剔除不合题意的边界点（三点不能重合）：

• 由 $A,P$ 不重合得 $x_1\ne x_0⟹x_1\ne 1$（初选范围 $x_1>1$ 已天然不含 1）；
• 由 $A,B$ 不重合得 $x_1\ne x_2⟹x_1\ne -2-x_1⟹x_1\ne -1$（边界点已排除）；
• 此外，需确保 $\angle PAB\ne 180^{\circ }$（即三点不共线）。当 $2x_1^2-x_1-1=0⟹x_1=1$ 或 $-\frac{1}{2}$ 时三点共线，此时 $\angle PAB=0^{\circ }$ 或 $180^{\circ }$，边界点 $-\frac{1}{2}$ 和 $1$ 处均为开区间，符合要求。

综上所述， $x_1$ 的有效取值范围为 $\left(-1,-\frac{1}{2}\right)\cup (1,+\infty )$。

因为 $y_1=-x_1^2$，对其两端建立二次函数映射：

• 当 $x_1\in \left(-1,-\frac{1}{2}\right)$ 时， $x_1^2\in \left(\frac{1}{4},1\right)⟹y_1\in \left(-1,-\frac{1}{4}\right)$；
• 当 $x_1\in (1,+\infty )$ 时， $x_1^2\in (1,+\infty )⟹y_1\in (-\infty ,-1)$。

综上所述，点 $A$ 的纵坐标 $y_1$ 的取值范围是 $(-\infty ,-1)\cup \left(-1,-\frac{1}{4}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线标准方程转化、由定比分点引发的代数方程化简、向量数量积小于0判别钝角。
2. 避坑指南：第三问中的钝角判定是极易丢分的深水区。一是在写出关于 $x_1$ 的不等式时，注意数量积系数 $(x_2-x_1)$ 符号对整体不等号方向的颠倒影响；二是最终答案必须写成纵坐标 $y_1$ 的范围，千万不要在求出横坐标 $x_1$ 范围后因忘记转化而功亏一篑。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将向量条件改为模长或夹角已知，用数量积坐标运算反求参数，体会向量代数的通性通法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)