2005-天津卷理-20 解-解三角形在实际问题中的应用

本题导读

本题核心考查利用三角函数与不等式最值解决解析几何/解三角形的实际应用问题。解题关键是通过建立直角坐标系，将视角 $\angle BPC$ 的正切值表示为观测点高度的代数函数，并应用基本不等式求解最大值时的几何状态。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(理)） 某人在一山坡 $P$ 处观看对面山顶上的一座铁塔，如图所示，塔高 $BC=80$ (米)，塔所在的山高 $OB=220$ (米)， $OA=200$ (米)，图中所示的山坡可视为直线 $l$ 且点 $P$ 在直线 $l$ 上， $l$ 与水平地面的夹角为 $\alpha$， $\tan \alpha =\frac{1}{2}$.试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角 $\angle BPC$ 最大？(不计此人的身高)

🔍【思路分析】

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1. 建立坐标系：以 $O$ 为原点， $OA$ 所在的水平地面为 $x$ 轴， $OC$ 所在的垂直线为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系。
2. 写出点与直线方程：确定 $B$、 $C$、 $A$ 的坐标。利用点 $A(200,0)$ 及斜率 $k=\tan \alpha =\frac{1}{2}$ 写出山坡直线 $l$ 的方程。
3. 引入参数表示 $P$ 点：设此人距水平地面的高度为 $h$ 米，从而用 $h$ 表达出点 $P$ 的坐标。
4. 构建视角正切函数：利用直线 $PB$ 和 $PC$ 的斜率，通过两角差的正切公式将 $\tan \angle BPC$ 表达为关于 $h$ 的函数，再利用基本不等式求出使其达到最大值时的 $h$。

✅【答案】

Success

此人距水平地面 $60$ 米高时，观看塔的视角 $\angle BPC$ 最大。

✍【详细解析】

Abstract

解： 以 $O$ 为原点， $OA$ 所在水平地面为 $x$ 轴， $OC$ 所在垂直方向为 $y$ 轴，建立平面直角坐标系。 由题意，各点坐标为： $O(0,0),B(0,220),C(0,220+80)=(0,300),A(200,0)$

因为山坡直线 $l$ 过点 $A(200,0)$，且与 $x$ 轴正方向的夹角为 $\alpha$，斜率 $k=\tan \alpha =\frac{1}{2}$。 所以直线 $l$ 的方程为： $y-0=\frac{1}{2}(x-200)⟹x=2y+200$

设点 $P$ 距水平地面的高度为 $h$ 米（即点 $P$ 的纵坐标为 $h$）。 因为 $P$ 在直线 $l$ 上，代入直线方程得 $P$ 的横坐标为 $2h+200$，即： $P(2h+200,h)(h>0)$

设直线 $PB$、 $PC$ 的斜率分别为 $k_1$、 $k_2$。 根据斜率公式： $k_1=k_{PB}=\frac{220-h}{0-(2h+200)}=\frac{h-220}{2h+200}$ $k_2=k_{PC}=\frac{300-h}{0-(2h+200)}=\frac{h-300}{2h+200}$

设观看塔的视角 $\angle BPC=\theta$。由于 $\theta$ 是锐角，根据两角差的正切公式： $\tan \theta =\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1{k}_2}\right|=\frac{k_1-k_2}{1+k_1{k}_2}$ 将 $k_1,k_2$ 代入分子与分母中分别化简：

• 分子： $k_1-k_2=\frac{h-220-(h-300)}{2h+200}=\frac{80}{2h+200}$
• 分母： $1+k_1{k}_2=1+\frac{(h-220)(h-300)}{(2h+200{)}^2}=\frac{(2h+200{)}^2+(h-220)(h-300)}{(2h+200{)}^2}$ $(2h+200{)}^2+(h-220)(h-300)=(4h^2+800h+40000)+(h^2-520h+66000)=5h^2+280h+106000$

带入 $\tan \theta$ 的综合式中，约去一个分母项 $(2h+200)$ 得： $\tan \theta =\frac{80(2h+200)}{5h^2+280h+106000}=\frac{160h+16000}{5h^2+280h+106000}=\frac{32h+3200}{h^2+56h+21200}$

令 $t=h+100$（由于 $h>0⟹t>100$），则 $h=t-100$。代入上式进行换元： $\tan \theta =\frac{32(t-100)+3200}{(t-100{)}^2+56(t-100)+21200}=\frac{32t}{t^2-200t+10000+56t-5600+21200}$ $\tan \theta =\frac{32t}{t^2-144t+25600}$ 分子分母同除以 $t$： $\tan \theta =\frac{32}{t+\frac{25600}{t}-144}$

因为 $t>100$，由基本不等式知： $t+\frac{25600}{t}\ge 2\sqrt{t\cdot \frac{25600}{t}}=2\times 160=320$ 当且仅当 $t=\frac{25600}{t}⟹t^2=25600⟹t=160$ 时等号成立。

此时分母取得最小值，因为分子 32 为正常数，所以 $\tan \theta$ 取得最大值： $\tan {\theta }_{\text{max}}=\frac{32}{320-144}=\frac{32}{176}=\frac{2}{11}$ 因为 $\theta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$，正切函数在该区间内单调递增，故当 $\tan \theta$ 最大时，视角 $\theta$ 最大。

此时对应的高度 $h$ 为： $h=t-100=160-100=60\text{ 米}$

答：此人距水平地面 60 米高时，观看铁塔的视角 $\angle BPC$ 最大。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面直角坐标系的实际应用建系、两角差的正切公式、利用基本不等式 $x+\frac{A}{x}$ 求解分式最值。
2. 核心方法：坐标代数化与换元降次法。
3. 避坑指南：一是在求斜率代入公式时，分式代数变形极其庞杂，必须通过类似 $t=h+100$ 的整体换元法将分子“单项化”，否则直接对原分式求导或强行变形，计算量极大且极易算错；二是需明确判定正切值最大与角度最大的等价性。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将参数置于区间端点或极值点，讨论单调区间的划分与最值取到的位置，强化导数符号分析。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 11.04 三角形面积公式
• 03.02 均值不等式

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