2005-天津卷理-19 解-直线与平面所成的角

本题导读

本题考查线面角与二面角的判定、线面平行的几何证明、四面体外接球半径计算。核心在于顶点在底面的射影定位与建系求球心。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(理)） 如图，在斜三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中， $\angle A_{1}AB=\angle A_{1}AC$， $AB=AC$， $A_{1}A=A_{1}B=a$，侧面 $B_{1}BC{C}_1$ 与底面 $ABC$ 所成的二面角为 $120^{\circ }$， $E$、 $F$ 分别是棱 $B_1{C}_1$, $A_{1}A$ 的中点.

(1)求 $A_{1}A$ 与底面 $ABC$ 所成的角；

(2)证明 $A_{1}E\parallel$ 平面 $B_{1}FC$；

(3)求经过 $A_1$, $A$, $B$, $C$ 四点的球的体积.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问：由 $\angle A_{1}AB=\angle A_{1}AC$ 且 $AB=AC$，可知顶点 $A_1$ 在底面 $ABC$ 上的射影 $O$ 落在 $\angle BAC$ 的平分线（即等腰三角形 $ABC$ 底边 $BC$ 的中线）上。过 $A_1$ 作底面的垂线，构造直角三角形，结合二面角条件求解。
2. 第（2）问：取 $B_{1}C$ 的中点或利用平行四边形进行平移。证明 $A_{1}E$ 平行于平面 $B_{1}FC$ 内的一条直线即可，也可以通过空间向量进行基底法或坐标法证明法。
3. 第（3）问：确定四面体 $A_1-ABC$ 的外接球半径 $R$。由于 $A_{1}A=A_{1}B$ 且射影特征对称，可通过几何法找球心，计算球心到顶点的距离，最后代入体积公式 $V=\frac{4}{3}\pi R^3$。

✅【答案】

Success

（1）$A_{1}A$ 与底面 $ABC$ 所成的角为 $60^{\circ }$；

（2）证明见解析；

（3）经过 $A_1,A,B,C$ 四点的球的半径 $R=\frac{\sqrt{3}}{3}a$，体积 $V=\frac{4\sqrt{3}}{27}\pi a^3$．

✍【详细解析】

Abstract

（1）解： 设 $D$ 为 $BC$ 的中点．因为 $AB=AC$，所以 $AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线且 $AD\perp BC$；又 $\angle A_{1}AB=\angle A_{1}AC$，故点 $A_1$ 在底面 $ABC$ 上的正投影 $O$ 落在直线 $AD$ 上． 以 $A$ 为原点，$AD$ 所在直线为 $x$ 轴，在底面内过 $A$ 作 $AD$ 的垂线为 $y$ 轴，竖直方向为 $z$ 轴建立空间直角坐标系，设 $A(0,0,0),O(t,0,0),A_1(t,0,z),D(d,0,0),B(d,-h,0),C(d,h,0)$ 由 $A_{1}A=A_{1}B=a$ 得 $t^2+z^2=a^2,(t-d{)}^2+h^2+z^2=a^2⟹h^2=2td-d^2$ 平面 $B_{1}BC{C}_1$ 由 $\overrightarrow{BC}=(0,2h,0)$ 与 $\overrightarrow{B{B}_1}=\overrightarrow{A{A}_1}=(t,0,z)$ 张成，其法向量可取 $\vec{n}=(z,0,-t)$；底面 $ABC$ 的法向量为 $\vec{k}=(0,0,1)$． 由已知二面角为 $120^{\circ }$，得两法向量夹角的余弦的绝对值为 $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$，即 $\frac{|t|}{\sqrt{t^2+z^2}}=\frac{|t|}{a}=\frac{1}{2}⟹|t|=\frac{a}{2}$ 故 $z=\sqrt{a^2-t^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$．设 $A_{1}A$ 与底面 $ABC$ 所成的角为 $\theta$，则 $\sin \theta =\frac{z}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}⟹\theta =60^{\circ }$ 即 $A_{1}A$ 与底面 $ABC$ 所成的角为 $60^{\circ }$．

（2）证明： 取 $B_{1}C$ 的中点 $G$，连接 $EG,FG$． 因为 $E,G$ 分别是 $B_1{C}_1,B_{1}C$ 的中点，所以 $EG$ 是 $△B_1{C}_{1}C$ 的中位线，故 $EG\parallel C{C}_1,EG=\frac{1}{2}C{C}_1$ 又 $F$ 是 $A_{1}A$ 的中点，$A{A}_1\parallel C{C}_1$，$A{A}_1=C{C}_1$，故 $A_{1}F\parallel C{C}_1,A_{1}F=\frac{1}{2}A{A}_1=\frac{1}{2}C{C}_1$ 所以 $A_{1}F\parallel EG$ 且 $A_{1}F=EG$，四边形 $A_{1}FGE$ 是平行四边形，从而 $A_{1}E\parallel FG$ 又 $FG\subset$ 平面 $B_{1}FC$，$A_{1}E\not\subset$ 平面 $B_{1}FC$，所以 $A_{1}E\parallel$ 平面 $B_{1}FC$．

（3）解： 取 $t=\frac{a}{2}$，则 $h^2=ad-d^2$，$A_1\left(\frac{a}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2}a\right)$． 因为 $B(d,-h,0)$ 与 $C(d,h,0)$ 关于 $x$ 轴对称，所以球心 $S$ 在 $xOz$ 平面内，设 $S(x_0,0,z_0)$． 由 $|SA|=|SB|$ 得 $2x_{0}d=d^2+h^2=ad⟹x_0=\frac{a}{2}$ 由 $|SA|=|S{A}_1|$ 得 $2\left(x_0\cdot \frac{a}{2}+z_0\cdot \frac{\sqrt{3}a}{2}\right)=a^2⟹\frac{a^2}{4}+\frac{\sqrt{3}}{2}a{z}_0=\frac{a^2}{2}⟹z_0=\frac{\sqrt{3}}{6}a$ 所以球的半径 $R=\sqrt{x_0^2+z_0^2}=\sqrt{\frac{a^2}{4}+\frac{a^2}{12}}=\sqrt{\frac{a^2}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}a$ 从而球的体积 $V=\frac{4}{3}\pi R^3=\frac{4}{3}\pi \cdot \frac{\sqrt{3}}{9}{a}^3=\frac{4\sqrt{3}}{27}\pi a^3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项判定线面角、面面角平面角的寻找（三垂线定理）、线面平行的几何中位线证明法、四面体外接球半径计算。
2. 避坑指南：第（1）问的关键是判定顶点在底面的射影落在底面三角形的特征线上。由于 $AB=AC$ 且斜棱与两底边夹角相等，射影必然在对称轴上。第（3）问求外接球体积时，几何法找球心位置计算繁琐，可建立空间直角坐标系通过确定球心坐标 $(x,y,z)$ 满足到四点距离相等来求解，更为稳妥。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将几何体的边长或位置关系改变，用几何法或建系法重新求解空间角、距离与体积。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练 (Links)