2005-天津卷理-12 填-异面直线所成的角

本题导读

本题核心考查立体几何中异面直线所成角正切值的求解。通过构造平行线将异面直线夹角转化为同一个三角形内的平面角，再结合线面垂直的性质确定直角三角形进行求解。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(理)） 如图， $PA\perp$ 平面 $ABC$， $\angle ACB=90^{\circ }$ 且 $PA=AC=BC=a$，则异面直线 $PB$ 与 $AC$ 所成角的正切值等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 方法一（几何平移法）：在底面 $ABC$ 中，过点 $B$ 作 $BD\parallel AC$ 且 $BD=AC=a$，连接 $PD,AD$。则 $\angle PBD$（或其补角）即为异面直线 $PB$ 与 $AC$ 所成的角。在所构造的三角形中计算其正切值。
2. 方法二（线面垂直法）：直接观察可证明 $AC\perp$ 平面 $PAB$ 吗？不，是 $BC\perp AC$。可以考虑补形，将三棱锥补成一个长方体，通过长方体的棱与对角线快速找到平行关系。
3. 方法三（空间向量法）：以 $C$ 为坐标原点建立空间直角坐标系，通过计算向量 $\overrightarrow{PB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 的夹角余弦值，进而转化为正切值。

✅【答案】

Success

$\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：几何平移法 在平面 $ABC$ 内，过点 $B$ 作 $BD\parallel CA$，且取 $BD=CA=a$。 连接 $PD,AD$。 因为 $BD\parallel AC$，所以根据异面直线所成角的定义，直线 $PB$ 与 $AC$ 所成的角即为直线 $PB$ 与 $BD$ 所成的角，即 $\angle PBD$（或其补角）。

因为 $PA\perp$ 平面 $ABC$，且 $BD\subset$ 平面 $ABC$，所以 $PA\perp BD$。 又在直角梯形或矩形构造中，由 $\angle ACB=90^{\circ }$ 且 $BD\parallel AC$ 可知， $\angle CBD=90^{\circ }$，即 $BD\perp BC$。 因为 $PA\cap BC=A$，且 $PA,BC\subset$ 平面 $PAB$， 所以 $BD\perp$ 平面 $PAB$。

由于 $PB\subset$ 平面 $PAB$，所以 $BD\perp PB$，即 $△PBD$ 是以 $\angle PBD=90^{\circ }$ 为直角的直角三角形。 注：上述垂直结论说明 $\angle PBD=90^{\circ }$，这意味着 $PB$ 与 $BD$（即 $AC$）相互垂直，则它们所成的角为 $90^{\circ }$。由于 $90^{\circ }$ 的正切值不存在，我们需要重新审视平移线选择。

重新修正平移线选择（标准方法）： 过点 $B$ 作 $BE\parallel AC$ 且 $BE=AC=a$（即前文的 $BD$）。 由于 $\angle ACB=90^{\circ }$，且 $BC=a,AC=a,BE=a,BE\parallel AC$， 所以四边形 $ACBE$ 为正方形。 连接 $PE$。异面直线 $PB$ 与 $AC$ 所成的角即为 $\angle PBE$。

因为 $PA\perp$ 平面 $ABC$， $AE\subset$ 平面 $ABC$，所以 $PA\perp AE$。 在 Rt$△PAE$ 中， $AE=BC=a$， $PA=a$， 由勾股定理得： $PE=\sqrt{P{A}^2+A{E}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$。

在 Rt$△PAB$ 中， $PA=a$， $AB=\sqrt{A{C}^2+B{C}^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$。 由勾股定理得： $PB=\sqrt{P{A}^2+A{B}^2}=\sqrt{a^2+2a^2}=\sqrt{3}a$。

在 $△PBE$ 中，三边长分别为： $PB=\sqrt{3}a$， $BE=a$， $PE=\sqrt{2}a$。 因为 $B{E}^2+P{E}^2=a^2+2a^2=3a^2=P{B}^2$， 根据勾股定理逆定理可知， $△PBE$ 是以 $\angle PEB=90^{\circ }$ 为直角的直角三角形。

所以在 Rt$△PBE$ 中，异面直线所成角 $\angle PBE$ 的正切值为： $\tan \angle PBE=\frac{PE}{BE}=\frac{\sqrt{2}a}{a}=\sqrt{2}$

方法二：空间向量法 以 $C$ 为坐标原点， $CA$ 为 $x$ 轴， $CB$ 为 $y$ 轴，过 $C$ 且平行于 $AP$ 的方向为 $z$ 轴，建立空间直角坐标系 $C-xyz$。 则各点坐标为： $C(0,0,0)$， $A(a,0,0)$， $B(0,a,0)$， $P(a,0,a)$。

相应向量的坐标为： $\overrightarrow{AC}=(-a,0,0)$ $\overrightarrow{PB}=(0-a,a-0,0-a)=(-a,a,-a)$

设 $\theta$ 为向量 $\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{PB}$ 的夹角，则： $\cos \theta =\frac{\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{PB}}{\left|\overrightarrow{AC}\right|\cdot \left|\overrightarrow{PB}\right|}=\frac{(-a)(-a)+0+0}{a\cdot \sqrt{(-a{)}^2+a^2+(-a{)}^2}}=\frac{a^2}{a\cdot \sqrt{3}a}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 由于 $\cos \theta >0$，异面直线所成角也就是该向量夹角，即 $\cos \angle (PB,AC)=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 根据三角恒等式 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$，得 $\sin \angle (PB,AC)=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}^2}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$。 则正切值为： $\tan \angle (PB,AC)=\frac{\sin \angle (PB,AC)}{\cos \angle (PB,AC)}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=\sqrt{2}$

故答案为： $\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：异面直线所成角的平移构造、空间向量夹角公式与三角函数转换。
2. 核心方法：补形/平移法、建系向量法。
3. 避坑指南：利用平移法求出三角形三边后，务必使用余弦定理或勾股定理逆定理判定哪一个角才是直角（本题中直角在 $\angle PEB$ 处，斜边为 $PB$），避免因主观误判直角位置导致正切比值颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题是墙角模型（墙角三条棱两两垂直的外展墙面）的变体应用，属于高考中考查立体几何降维转化能力的常规中档填空题。 2.结论推广: 在由共侧棱两两垂直演化而来的三棱锥 $P-ABC$（若 $PA\perp$ 面 $ABC$ 且 $\angle ACB=90^{\circ }$）中，若 $PA=AC=BC=a$，则任意侧斜棱与底面相对棱的夹角余弦值恒为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$，正切值恒为 $\sqrt{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.05 几何法求空间角专题
• 21.03 空间向量求角

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