2005-天津卷理-11 填-二项式定理

本题导读

本题核心考查二项式定理的逆向求和。解题关键是观察多项式各常数项的指数与组合数上标之间的错位关系，通过提取公因式或整体凑配，将其还原为标准的二项式展开式。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(理)） 设 $n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$，则 ${\text{C}}_n^1+{\text{C}}_n^{2}6+{\text{C}}_n^3{6}^2+\cdots +{\text{C}}_n^n{6}^{n-1}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察通项结构：第 $k$ 项为 ${\text{C}}_n^k{6}^{k-1}$。
2. 对照标准二项式定理展开式 $(a+b{)}^n={\sum }_{k=0}^n{\text{C}}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$，发现此处 6 的指数比组合数上标少 1（即错位）。
3. 调整指数：在等式两边同乘以 6，使 6 的指数与组合数上标对齐，或在多项式中整体提取 $\frac{1}{6}$ 进行配平。

✅【答案】

Success

$\frac{7^n-1}{6}$

✍【详细解析】

Abstract

设待求代数式为 $S={\text{C}}_n^1+{\text{C}}_n^{2}6+{\text{C}}_n^3{6}^2+\cdots +{\text{C}}_n^n{6}^{n-1}$。

为了利用二项式定理，在等式两边同时乘以 6： $6S=6{\text{C}}_n^1+{\text{C}}_n^2{6}^2+{\text{C}}_n^3{6}^3+\cdots +{\text{C}}_n^n{6}^n$

根据二项式定理， $(1+6{)}^n$ 的标准展开式为： $(1+6{)}^n={\text{C}}_n^0{1}^n+{\text{C}}_n^{1}6+{\text{C}}_n^2{6}^2+{\text{C}}_n^3{6}^3+\cdots +{\text{C}}_n^n{6}^n$ $7^n=1+\left(6{\text{C}}_n^1+{\text{C}}_n^2{6}^2+{\text{C}}_n^3{6}^3+\cdots +{\text{C}}_n^n{6}^n\right)$

对比可知，括号内部的各项多项式之和正好等于 $6S$，代入得： $7^n=1+6S$

移项并两边同除以 6，解得 $S$： $6S=7^n-1⟹S=\frac{7^n-1}{6}$

故答案为： $\frac{7^n-1}{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式定理的逆向应用、指数与上标对齐技巧。
2. 核心方法：两边同乘系数配平法。
3. 避坑指南：一是极易漏掉标准展开式中的第一项 ${\text{C}}_n^0=1$，直接得出 $7^n/6$ 的错误结论；二是注意最终结果需将两边同乘的系数 $6$ 除去，还原为 $S$ 的表达式。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第三册“计数原理”章节中二项式定理的逆向求和高频基础题。 2.结论推广: 对于任意包含组合数的一般级数，其标准还原通式为： ${\sum }_{k=1}^n{\text{C}}_n^k{x}^{k-1}=\frac{(1+x{)}^n-1}{x}(x\ne 0)$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 22.01 计数原理、排列与组合

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