2005-天津卷理-09 单-反函数的定义与性质

本题导读

本题核心考查原函数与反函数的对应关系及其单调性。解题关键是利用“反函数不等式 $f^{-1}(x)>1$”与“原函数单调性”之间的内在联系，将其转化为关于原函数的不等式直接求解，避免求出复杂的反函数解析式。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(理)） 设 $f^{-1}(x)$ 是函数 $f(x)=\frac{1}{2}(a^x-a^{-x})$ ($a>1$) 的反函数，则使 $f^{-1}(x)>1$ 成立的 $x$ 的取值范围为 ()

A. $\left(\frac{a^2-1}{2a},+\infty \right)$　　　　　　　　　　　　　　B. $\left(-\infty ,\frac{a^2-1}{2a}\right)$

C. $\left(\frac{a^2-1}{2a},a\right)$　　　　　　　　　　　　　　D. $[a,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析原函数的单调性：因为 $a>1$，指数函数 $y=a^x$ 单调递增， $y=a^{-x}$ 单调递减，故 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上严格单调递增。
2. 利用单调性转化不等式：由于 $f(x)$ 严格单调递增，其反函数 $f^{-1}(x)$ 在对应定义域上同样严格单调递增。因此，不等式 $f^{-1}(x)>1$ 两边同施加外层映射 $f$，等价于 $f(f^{-1}(x))>f(1)⟹x>f(1)$。
3. 计算 $f(1)$ 的值，直接得出 $x$ 的范围。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

已知原函数为 $f(x)=\frac{1}{2}(a^x-a^{-x})$，其中底数 $a>1$。 因为当 $a>1$ 时， $y=a^x$ 是 $\mathbf{R}$ 上的增函数， $y=a^{-x}$ 是 $\mathbf{R}$ 上的减函数， 所以 $y=-a^{-x}$ 是 $\mathbf{R}$ 上的增函数。 两个增函数相加得到的复合函数 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上是严格单调递增函数。

根据反函数的性质，若原函数在某个区间上单调递增，则其反函数在对应的值域（即反函数的定义域）上也必然单调递增。

对于待解不等式： $f^{-1}(x)>1$ 由于 $f(x)$ 严格单调递增，我们在不等式两边同时施加函数法则 $f$，不等号方向保持不变： $f\left(f^{-1}(x)\right)>f(1)$ 根据恒等式 $f\left(f^{-1}(x)\right)=x$，上式直接等价于： $x>f(1)$

将 $x=1$ 代入原函数 $f(x)$ 的解析式中，计算 $f(1)$： $f(1)=\frac{1}{2}(a^1-a^{-1})=\frac{1}{2}\left(a-\frac{1}{a}\right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{a^2-1}{a}=\frac{a^2-1}{2a}$

因此，使得不等式成立的 $x$ 的取值范围为： $x>\frac{a^2-1}{2a}$ 写成区间形式即为 $\left(\frac{a^2-1}{2a},+\infty \right)$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：原函数与反函数单调性的同向性、反函数不等式性质定义转换。
2. 核心方法：无解析式直接转化法（利用单调性脱去反函数符号）。
3. 避坑指南：很多学生在看到反函数题时，第一反应往往是尝试通过求出 $f^{-1}(x)$ 的显式代数表达式（本题反函数解析式为对数形式 $f^{-1}(x)={\log }_a(x+\sqrt{x^2+1})$）去解不等式，这样极易在繁琐的因式代数变形和去根式过程中出错，浪费大量时间。牢记**“解反函数问题，优先向原函数转化”**的根本原则。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题由人教A版必修第一册“函数的概念与性质”章节中关于“反函数的性质”及双曲正弦函数（即 $f(x)=\sinh x$ 相关的变形）基础理论题衍生而来。 2.结论推广: 对于任意在定义域内严格单调递增的函数 $f(x)$，不等式 $f^{-1}(x)>k$ 恒等价于 $x>f(k)$（前提是 $k$ 属于原函数的值域，且 $x$ 满足反函数的定义域约束）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)