2005-天津卷理-08 单-三角函数的图象变换

本题导读

本题核心考查三角函数图象的几何变换（相位平移与周期伸缩）。解题关键是先利用诱导公式将目标函数与原函数统一化为同名三角函数，再严格按照“左加右减”以及自变量整体替换的原则确定变换步骤。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(理)） 要得到函数 $y=\sqrt{2}\cos x$ 的图象，只需将函数 $y=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$ 的图象上所有的点的 ()

A. 横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍 (纵坐标不变)，再向左平行移动 $\frac{\pi }{8}$ 个单位长度

B. 横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍 (纵坐标不变)，再向右平行移动 $\frac{\pi }{4}$ 个单位长度

C. 横坐标伸长到原来的 $2$ 倍 (纵坐标不变)，再向左平行移动 $\frac{\pi }{4}$ 个单位长度

D. 横坐标伸长到原来的 $2$ 倍 (纵坐标不变)，再向右平行移动 $\frac{\pi }{8}$ 个单位长度

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一名称：利用诱导公式 $\cos x=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$，将目标函数 $y=\sqrt{2}\cos x$ 转化为正弦型函数 $y=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$。
2. 比较参数：原函数自变量系数为 $2$，目标函数自变量系数为 $1$，说明横坐标需要扩大到原来的 $2$ 倍（即周期变大，角频率变小）。
3. 确定步骤：对原函数先进行横坐标伸缩变换，再根据自变量“左加右减”规则计算平移量。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

首先，利用诱导公式将目标函数化为正弦形式： $y=\sqrt{2}\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$

我们要从原函数 $y=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$ 的图象通过变换得到 $y=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$ 的图象。

第一步：横坐标伸缩变换 将函数 $y=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变）， 此时自变量 $x$ 替换为 $\frac{1}{2}x$，得到的新函数解析式为： $y=\sqrt{2}\sin \left(2\cdot \frac{1}{2}x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$

第二步：平移变换 我们要将 $y=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ 变换为 $y=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$。 由于 $\frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{4}+\frac{\pi }{4}$，即： $y=\sqrt{2}\sin \left[\left(x+\frac{\pi }{4}\right)+\frac{\pi }{4}\right]=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$ 根据“左加右减”的图象平移规律，自变量 $x$ 变为了 $x+\frac{\pi }{4}$，说明需要向左平行移动 $\frac{\pi }{4}$ 个单位长度。

综上所述，变换动作为：横坐标伸长到原来的 $2$ 倍 (纵坐标不变)，再向左平行移动 $\frac{\pi }{4}$ 个单位长度。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦与余弦互化、函数图象的周期变化与相位平移。
2. 核心方法：自变量整体代换分析法。
3. 避坑指南：三角函数平移变换的单位量必须且只能针对单自变量 $x$ 而言。若选择先平移后伸缩，则需要将解析式提公因式写成 $\sqrt{2}\sin \left[2\left(x+\frac{\pi }{8}\right)\right]$ 的形式进行对照，否则极易在平移幅度的数值计算上出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版必修第一册“三角函数的图象与性质”章节中关于 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 经典图象变换规律的基础巩固题。 2.结论推广: 设有两正弦型图象变换：由 $y=\sin ({\omega }_{1}x+{\varphi }_1)$ 变换至 $y=\sin ({\omega }_{2}x+{\varphi }_2)$，若采用“先伸缩后平移”的路径： （1）横坐标变为原来的 $\frac{{\omega }_1}{{\omega }_2}$ 倍； （2）新解析式化为 $y=\sin ({\omega }_{2}x+{\varphi }_1)$，需再向左平移 $\frac{{\varphi }_2-{\varphi }_1}{{\omega }_2}$ 个单位（若值为负则向右）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

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