2005-天津卷理-07 单-独立重复试验

本题导读

本题核心考查独立重复试验模型（二项分布）的概率计算。通过对“至少击中两次”进行事件拆解，转化为恰好击中2次与恰好击中3次这两个互斥事件的概率之和。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(理)） 某人射击一次击中的概率为 $0.6$，经过 3 次射击，此人至少有两次击中目标的概率为 ()

A. $\frac{81}{125}$　　　　　B. $\frac{54}{125}$　　　　　C. $\frac{36}{125}$　　　　　D. $\frac{27}{125}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 明确试验性质：3次射击可看作3次独立重复试验，设击中目标的次数为随机变量 $X$，则 $X\sim B(3,0.6)$。
2. 拆解事件：“至少有两次击中”包含两种互斥情况，即“恰好击中2次（$X=2$）”和“恰好击中3次（$X=3$）”。
3. 运用二项分布概率公式 $P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$ 分别求出两部分概率，相加即可。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

设射击 3 次中击中的次数为 $X$，由题意知 $X$ 服从二项分布，即 $X\sim B(3,0.6)$。 其中单次成功概率 $p=0.6=\frac{3}{5}$，失败概率 $q=1-0.6=0.4=\frac{2}{5}$。

“至少有两次击中目标”对应的事件为 $X\ge 2$，包含 $X=2$ 与 $X=3$ 两种互斥情况。

根据二项分布公式计算各部分概率：

1. 恰好击中 2 次的概率： $P(X=2)=C_3^2\times (0.6{)}^2\times (0.4{)}^1=3\times \frac{9}{25}\times \frac{2}{5}=\frac{54}{125}$
2. 恰好击中 3 次的概率： $P(X=3)=C_3^3\times (0.6{)}^3\times (0.4{)}^0=1\times \frac{27}{125}\times 1=\frac{27}{125}$

由于这两个事件互斥，故“至少有两次击中目标”的概率为： $P(X\ge 2)=P(X=2)+P(X=3)=\frac{54}{125}+\frac{27}{125}=\frac{81}{125}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：伯努利试验辨析、二项分布公式的准确应用、互斥事件加法。
2. 核心方法：正向分类穷举求和法。
3. 避坑指南：一是在使用二项分布公式时，极易忘掉前面的组合数系数 $C_n^k$；二是注意题目要求的是“至少2次”，必须包含恰好3次的情况，不可漏项。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第三册“随机变量及其分布”章节中关于二项分布与独立重复试验的标准课后习题。 2.结论推广: 设在 $n$ 次独立重复试验中，单次成功概率为 $p$，则至少成功 $n-1$ 次的概率公式可推广表示为： $P(X\ge n-1)=n\cdot p^{n-1}(1-p)+p^n=p^{n-1}(n-np+p)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.04 二项分布与超几何分布
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)