2005-天津卷理-05 单-椭圆的标准方程与几何性质

本题导读

本题核心考查椭圆与双曲线几何性质的综合应用。通过两曲线间关键几何特征（长轴端点、焦点、准线）的重合关系，建立参数方程组，进而求得双曲线的渐近线斜率。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(理)） 设双曲线以椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为 ()

A. $\pm 2$　　　　　　　B. $\pm \frac{4}{3}$　　　　　　　C. $\pm \frac{1}{2}$　　　　　　　D. $\pm \frac{3}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取椭圆的关键几何数据：由 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ 计算出椭圆的 $a_e,b_e,c_e$，进而确定椭圆的长轴端点与焦点坐标。
2. 建立双曲线参数关系：设双曲线方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。根据题设“双曲线的焦点是椭圆的长轴端点”，确定双曲线的 $c$；根据“双曲线的准线过椭圆的焦点”，确定双曲线的 $\frac{a^2}{c}$。
3. 结合双曲线基本恒等式 $b^2=c^2-a^2$ 求出 $a$ 和 $b$，最终计算渐近线斜率 $\pm \frac{b}{a}$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

对于椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，易知 $a_e^2=25,b_e^2=9$。 则 $a_e=5$。其长轴两个端点坐标为 $(\pm 5,0)$。 焦距半长 $c_e=\sqrt{a_e^2-b_e^2}=\sqrt{25-9}=4$。其焦点坐标为 $(\pm 4,0)$。

设所求双曲线的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$)，其半焦距为 $c$。

根据题意：

1. 双曲线以椭圆长轴的两个端点 $(\pm 5,0)$ 为焦点，所以双曲线的： $c=5$
2. 双曲线的准线方程为 $x=\pm \frac{a^2}{c}$。由于准线过椭圆的焦点 $(\pm 4,0)$，则有： $\frac{a^2}{c}=4$ 将 $c=5$ 代入上式，得 $a^2=4c=4\times 5=20$。

根据双曲线的性质 $b^2=c^2-a^2$，代入数据得： $b^2=5^2-20=25-20=5$

由于焦点在 $x$ 轴上，该双曲线的渐近线方程为 $y=\pm \frac{b}{a}x$。 其斜率 $k$ 的绝对值为： $\left|k\right|=\frac{b}{a}=\sqrt{\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{\frac{5}{20}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$ 因此，双曲线的渐近线斜率为 $\pm \frac{1}{2}$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线准线方程（$x=\pm \frac{a^2}{c}$）、双曲线渐近线斜率公式（$k=\pm \frac{b}{a}$）、两曲线特征参数的混淆规避。
2. 核心方法：待定系数方程法。
3. 避坑指南：一是极易将椭圆的焦点与双曲线的焦点张冠李戴，解题时建议像解析中一样，使用下标（如 $a_e,c_e$）明确区分两圆锥曲线的参数；二是必须牢记双曲线中满足 $b^2=c^2-a^2$，而椭圆中满足 $c^2=a^2-b^2$，公式切记勿记颠倒。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版选择性必修第一册“双曲线的几何性质”章节中关于双曲线与椭圆共轴、参数互求的经典课后综合题。 2.结论推广: 设焦点在 $x$ 轴上的椭圆与双曲线共中心，若双曲线的焦点为椭圆的长轴端点（即 $c=a_e$），且双曲线的准线经过椭圆的焦点（即 $\frac{a^2}{c}=c_e$），则双曲线的离心率满足 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{c}{\frac{a^2}{c}}}=\sqrt{\frac{a_e}{c_e}}=\frac{1}{\sqrt{e_e}}$（其中 $e_e$ 为椭圆的离心率）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)