2005-天津卷理-04 单-空间点线面的位置关系

本题导读

本题核心考查立体几何中线面垂直、面面垂直的判定与性质定理。需要通过对空间几何图形的性质推导，找出使得 $m ⊥ β$ 成立的充要或充分条件。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(理)）设 $α, β, γ$ 为平面， $m, n, l$ 为直线，则 $m ⊥ β$ 的一个充分条件是 ()

A. $α ⊥ β$ ， $α \cap β = l$ ， $m ⊥ l$ 　　B. $α \cap γ = m$ ， $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ 　　C. $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ ， $m ⊥ α$ 　　D. $n ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ⊥ α$

🔍【思路分析】

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深入分析每个选项给出的空间几何条件。

利用面面垂直的性质定理进行真伪判定：若要由 $m ⊥ l$ 推出线面垂直，直线 $m$ 必须位于其中一个平面内。

利用线面垂直的性质传递性对选项 D 进行推导：若两平面垂直于同一条直线，则两平面平行；若一条直线垂直于两平行平面中的一个，则必垂直于另一个。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

A 选项分析（错误）： 根据面面垂直的性质定理，“若两平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面”。条件中只给出了 $m ⊥ l$ ，但并未限制直线 $m$ 必须在平面 $α$ 内。直线 $m$ 可以在空间中与平面 $α$ 倾斜或平行，故不能推出 $m ⊥ β$ 。

B 选项分析（错误）： 由 $α ⊥ γ$ 且 $β ⊥ γ$ ，两平面垂直于同一平面， $α$ 与 $β$ 的位置关系可能平行也可能相交。而 $m$ 为 $α$ 与 $γ$ 的交线，因此 $m \subset α$ 。当 $α ∥ β$ 时， $m ∥ β$ ；当 $α \cap β$ 时， $m$ 与 $β$ 相交但不一定垂直。故不能推出 $m ⊥ β$ 。

C 选项分析（错误）： 同样地，由 $α ⊥ γ$ 且 $β ⊥ γ$ ，平面 $α$ 与 $β$ 可能平行也可能相交。已知 $m ⊥ α$ ，当 $α$ 与 $β$ 相交成锐角时， $m$ 显然不垂直于 $β$ 。故不能推出 $m ⊥ β$ 。

D 选项分析（正确）： 因为 $n ⊥ α$ 且 $n ⊥ β$ ，根据“垂直于同一条直线的两个平面互相平行”的性质定理，可得： $α ∥ β$ 又因为已知条件中给出 $m ⊥ α$ ，根据“一条直线若垂直于两个平行平面中的一个，则它必然垂直于另一个平面”的性质，可得： $m ⊥ β$ 因此，由 D 选项的条件可以严密推导出 $m ⊥ β$ ，即为充分条件。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面垂直传递性、面面平行的判定（垂直于同一直线的两平面平行）。

核心方法：空间几何定理推演法。

避坑指南：A 选项是极其经典的“伪定理”陷阱，很多学生在记忆面面垂直性质定理时容易漏掉**“在一个平面内”**这个至关重要的条件，误认为只要垂直于交线就一定垂直于整个平面，导致错选。

📖【试题探源与推广】

Tip

1.试题探源: 本题源于人教A版必修第二册“立体几何初步”章节中关于线面垂直、面面垂直基本性质的辨析习题，主要考查空间直观想象核心素养。 2.结论推广: 空间位置关系的传递规律归纳：（1） $α ∥ β$ 且 $m ⊥ α ⟹ m ⊥ β$ 。（2） $n ⊥ α$ 且 $n ⊥ β ⟹ α ∥ β$ 。

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13.03 空间点、线、面位置关系

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