2005-天津卷文-21 解-恒成立与极值综合

本题导读

本题考查恒成立问题与极值问题的交汇，核心在于分别把两个命题转化为参数范围后取交集。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(文)） 已知 $m\in \mathbf{R}$，设 $P$：$x_1$ 和 $x_2$ 是方程 $x^2-ax-2=0$ 的两个实根，不等式 $|m^2-5m-3|⩾|x_1-x_2|$ 对任意实数 $a\in [-1,1]$ 恒成立；$Q$：函数 $f(x)=x^3+m{x}^2+(m+\frac{4}{3})x+6$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上有极值．求使 $P$ 正确且 $Q$ 正确的 $m$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $P$：$|x_1-x_2|=\sqrt{a^2+8}$ 在 $[-1,1]$ 最大 $3$，故需 $|m^2-5m-3|⩾3$，解 $m^2-5m-3⩽-3$（得 $0\le m\le 5$）或 $m^2-5m-3⩾3$（得 $m\le -1$ 或 $m\ge 6$）。
2. $Q$：$f^{\prime }(x)=3x^2+2mx+m+\frac{4}{3}$，有极值需 $\Delta =4(m-4)(m+1)>0$，即 $m<-1$ 或 $m>4$（$\Delta =0$ 时导数不变号无极值）。
3. 取交：$(-\infty ,-1)\cup (4,5]\cup [6,+\infty )$。

✅【答案】

Success

$m\in (-\infty ,-1)\cup (4,5]\cup [6,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

先判断命题 $P$．方程 $x^2-ax-2=0$ 的两根之差的绝对值为判别式的平方根，即 $|x_1-x_2|=\sqrt{a^2+8}$． 当 $a\in [-1,1]$ 时，$\sqrt{a^2+8}$ 的最大值为 $3$，所以 $P$ 正确的充要条件是 $|m^2-5m-3|⩾3$． 于是 $m^2-5m-3⩽-3$ 或 $m^2-5m-3⩾3$，即 $m(m-5)⩽0$ 或 $(m-6)(m+1)⩾0$， 因此 $P:m\in (-\infty ,-1]\cup [0,5]\cup [6,+\infty )$． 再判断命题 $Q$．函数的导数为 $f^{\prime }(x)=3x^2+2mx+m+\frac{4}{3}$． $\Delta =(2m{)}^2-4\cdot 3(m+\frac{4}{3})=4(m-4)(m+1)>0$． 由于 $\Delta =0$ 时导数不变号，函数没有极值，所以 $Q:m\in (-\infty ,-1)\cup (4,+\infty )$． 取 $P$ 与 $Q$ 的交集，得到 $m\in (-\infty ,-1)\cup (4,5]\cup [6,+\infty )$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：恒成立与极值综合

核心方法：根差最值定 P，判别式定 Q，取交

避坑指南：$|x_1-x_2|=\sqrt{a^2+8}$ 在 $[-1,1]$ 最大 $3$，$P:|m^2-5m-3|\ge 3$ 解得 $m\le -1$ 或 $0\le m\le 5$ 或 $m\ge 6$；$Q:\Delta >0$ 得 $m<-1$ 或 $m>4$；$P$ 且 $Q$ 取交为 $(-\infty ,-1)\cup (4,5]\cup [6,+\infty )$；注意 $\Delta =0$ 时导数不变号无极值，端点 $-1,0,4,5,6$ 的开闭逐个核对

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：恒成立 + 极值双条件交汇

结论推广：命题 $P$ 转化为参数最值不等式，命题 $Q$ 转化为判别式符号，最后取交集

方法推广：“有极值”$⟺\Delta >0$（$\Delta =0$ 两极值点重合不算）；端点开闭逐个代入双条件核验

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.19 恒成立问题——转化为最值法

类题演练 (Links)

• 2018-全国卷III理-21 解-导数运算法则
• 2018-全国卷I文-21 解-导数几何意义