2005-天津卷文-18 解-等比数列分类求和

本题导读

本题考查等比数列递推定公比与分类求和，核心在于先解出公比，再对两种取值分别用直接求和与错位相减。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(文)） 若公比为 $c$ 的等比数列 $\{a_n\}$ 的首项 $a_1=1$ 且满足 $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}$（$n=3,4,\cdots$）．

(1) 求 $c$ 的值；

(2) 求数列 $\{n{a}_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a_2=c$、$a_3=c^2$，代入 $n=3$：$c^2=\frac{c+1}{2}$，即 $2c^2-c-1=0$，$(2c+1)(c-1)=0$，$c=1$ 或 $c=-\frac{1}{2}$，均满足递推。
2. $c=1$ 时 $a_k=1$，$S_n=\sum k=\frac{n(n+1)}{2}$。
3. $c=-\frac{1}{2}$ 时 $a_k=(-\frac{1}{2}{)}^{k-1}$，用求导法（或错位相减）：${\sum }_{k=1}^{n}k{r}^{k-1}=\frac{1-(n+1)r^n+n{r}^{n+1}}{(1-r{)}^2}$，代 $r=-\frac{1}{2}$ 得 $S_n=\frac{1}{9}[4-\frac{(-1{)}^n(3n+2)}{2^{n-1}}]$。

✅【答案】

Success

当 $c=1$ 时，$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$；当 $c=-\frac{1}{2}$ 时，$S_n=\frac{1}{9}[4-\frac{(-1{)}^n(3n+2)}{2^{n-1}}]$

✍【详细解析】

Abstract

（1）因为数列为等比数列且 $a_1=1$，所以 $a_2=c$，$a_3=c^2$．将 $n=3$ 代入递推关系，得 $c^2=\frac{c+1}{2}$，即 $2c^2-c-1=0$，$(2c+1)(c-1)=0$． 因此 $c=1$ 或 $c=-\frac{1}{2}$．这两个值都满足递推关系，故均为可行的公比． （2）当 $c=1$ 时，$a_k=1$，所以 $S_n=\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$． 当 $c=-\frac{1}{2}$ 时，$a_k=(-\frac{1}{2}{)}^{k-1}$．令 $r=-\frac{1}{2}$，由有限等比数列求和公式 $\sum _{k=1}^n{r}^k=\frac{r-r^{n+1}}{1-r}$ 两边对 $r$ 求导，得 $\sum _{k=1}^{n}k{r}^{k-1}=\frac{1-(n+1)r^n+n{r}^{n+1}}{(1-r{)}^2}$． 代入 $r=-\frac{1}{2}$，得到 $S_n=\sum _{k=1}^{n}k(-\frac{1}{2}{)}^{k-1}=\frac{1}{9}[4-\frac{(-1{)}^n(3n+2)}{2^{n-1}}]$． 综上，当 $c=1$ 时，$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$；当 $c=-\frac{1}{2}$ 时，$S_n=\frac{1}{9}[4-\frac{(-1{)}^n(3n+2)}{2^{n-1}}]$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列分类求和

核心方法：先定公比再分类，错位相减收口

避坑指南：递推代入 $n=3$ 得 $2c^2-c-1=0$，$c=1$ 或 $c=-\frac{1}{2}$；$c=1$ 时直接求和，$c=-\frac{1}{2}$ 时错位相减（或导数法）得 $S_n=\frac{1}{9}[4-\frac{(-1{)}^n(3n+2)}{2^{n-1}}]$；两类公比都要检验递推式成立

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列递推定公比与分类求和

结论推广：递推式代特值定公比，求和按公比是否为 $1$ 分类

方法推广：错位相减适应 $k\cdot q^{k-1}$ 结构；$q=-\frac{1}{2}$ 时符号交替可用求导法替代推错位

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2010-大纲Ⅱ文-18 解-等比数列通项与求和
• 2008-大纲Ⅱ文-18 解-等差等比综合求和