2005-天津卷文-11 填-二项展开式常数项

本题导读

本题考查二项展开式中的常数项，核心在于写出通项并令 $x$ 的指数为零定出项数。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(文)） 二项式 $(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^{10}$ 的展开式中常数项为$\underline{}$．（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{k+1}=(-1{)}^k{\mathrm{C}}_{10}^k{x}^{\frac{10-k}{3}-\frac{k}{2}}$。
2. 指数为零：$\frac{10-k}{3}-\frac{k}{2}=0$，$20-5k=0$，$k=4$。
3. 常数项 $(-1{)}^4{\mathrm{C}}_{10}^4=210$。

✅【答案】

Success

$210$

✍【详细解析】

Abstract

展开式的通项为 ${\mathrm{C}}_{10}^k\left(\sqrt[3]{x}{)}^{10-k}\right(-\frac{1}{\sqrt{x}}{)}^k=(-1{)}^k{\mathrm{C}}_{10}^k{x}^{\frac{10-k}{3}-\frac{k}{2}}$． 要得到常数项，指数必须为 $0$，所以 $\frac{10-k}{3}-\frac{k}{2}=0$，即 $20-5k=0$，$k=4$． 因此常数项为 $(-1{)}^4{\mathrm{C}}_{10}^4={\mathrm{C}}_{10}^4=210$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项展开式常数项

核心方法：通项指数归零定 k

避坑指南：通项 $(-1{)}^k{\mathrm{C}}_{10}^k{x}^{\frac{10-k}{3}-\frac{k}{2}}$，指数 $0$ 得 $k=4$，常数项 ${\mathrm{C}}_{10}^4=210$；分数指数通分别算错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式常数项通项法

结论推广：通项含双参数时令幂指数为零解 $k$，代回组合数

方法推广：分数指数先通分再解；组合数用 ${\mathrm{C}}_{10}^4=210$ 等常用值直查

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 1992-全国卷理-11 单-二项式展开的系数
• 2018-全国卷III理-05 单-二项式定理