2005-天津卷文-08 单-正弦型函数图象定解析式

本题导读

本题考查由正弦型函数的图象反求解析式，核心在于由零点间距定 $\omega$、由过零方向定相位与 $A$ 的符号。

📌【题干】

Question

（2005年天津卷(文)） 函数 $y=A\sin (\omega x+\phi )$（$\omega >0$，$|\phi |<\frac{\pi }{2}$，$x\in \mathbf{R}$）的部分图象如图所示，则函数表达式为()

A. $y=-4\sin (\frac{\pi }{8}x+\frac{\pi }{4})$　　B. $y=4\sin (\frac{\pi }{8}x-\frac{\pi }{4})$　　C. $y=-4\sin (\frac{\pi }{8}x-\frac{\pi }{4})$　　D. $y=4\sin (\frac{\pi }{8}x+\frac{\pi }{4})$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 峰值 $4$、谷值 $-4$，$|A|=4$。
2. 图象在 $x=-2$ 与 $x=6$ 处均由下向上过零，相邻零点相距 $8$ 为半周期，$T=16$，$\omega =\frac{2\pi }{16}=\frac{\pi }{8}$。
3. 由 $x=6$ 处由下向上过零：$\frac{6\pi }{8}+\phi =\pi$（正弦相位 $\pi$ 处由下向上穿 $x$ 轴），$\phi =\frac{\pi }{4}$；该点导数 $A\omega \cos \pi =-A\omega >0$ 需 $A<0$，故 $A=-4$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由图象的最大值和最小值分别为 $4$ 和 $-4$，得振幅 $|A|=4$．图象在 $x=6$ 处由下向上通过 $x$ 轴，且在 $x=-2$ 处也通过 $x$ 轴，这两个相邻零点相距 $8$，所以半周期为 $8$，从而 $\omega =\frac{\pi }{8}$． 由于 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$，且 $\frac{6\pi }{8}+\phi \in (\frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4})$，由 $x=6$ 处为零点可知 $\frac{6\pi }{8}+\phi =\pi$，解得 $\phi =\frac{\pi }{4}$． 此时图象在 $x=6$ 处的导数为 $A\omega \cos \pi =-A\omega$．图象由下向上通过 $x$ 轴，所以 $-A\omega >0$，即 $A<0$，从而 $A=-4$．因此函数表达式为 $y=-4\sin (\frac{\pi }{8}x+\frac{\pi }{4})$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型函数图象定解析式

核心方法：零点间距定周期，过零方向定正负

避坑指南：相邻零点 $-2$ 到 $6$ 相距 $8$ 为半周期，$\omega =\frac{\pi }{8}$；$x=6$ 处由下向上过零知 $A<0$，$\phi =\frac{\pi }{4}$；只算 $|A|$ 不看升降方向会选错符号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由图象求正弦型解析式

结论推广：“零点距定 $\omega$、升降向定 $A$ 号、代点定 $\phi$” 三步定式

方法推广：相邻零点间距 $=\frac{T}{2}$；同幅图上先定 $\omega$ 再解 $\phi$，最后代点复核全式

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷II文-03 单-周期
• 2016-全国卷I文-06 单-三角函数