本题导读
本题考查二元二次曲线与直线的交点理论、弦中点一致性定理、重心几何性质转化。核心在于整体代换法、韦达定理中点法。
📌【题干】
Question
（2005年北京卷(理)） 18. 如图，直线 () 与直线 之间的阴影区域 (不含边界) 记为 ，其左半部分记为 ，右半部分记为 .
(1) 分别用不等式组表示 和 ；
(2) 若区域 中的动点 到 的距离之积等于 ，求点 的轨迹 的方程；
(3) 设不过原点 的直线 与 (2) 中的曲线 相交于 两点，且与 分别交于 两点. 求证： 的重心与 的重心重合.
🔍【思路分析】
破题导航
- 第一问（区域不等式）：根据平面区域的划分规则。对于 （右侧），动点在直线 下方且在 上方，同时满足 。同理分析左侧的 。
- 第二问（动点轨迹方程）：利用点到直线的距离公式分别写出 和 ，列出方程 。利用区域内满足的绝对值符号特征脱去绝对值，化简得到标准的等轴或非等轴双曲线方程。
- 第三问（重心重合证明）：
- 两个三角形都有一个共同的顶点 。要使两个三角形的重心重合，根据重心坐标公式 ，只需证明线段 的中点与线段 的中点完全重合即可。
- 设出直线 （ ）或 ，分别与双曲线 、直线组 联立。利用韦达定理算出中点坐标，对比它们的形式是否一致。
✅【答案】
Success
(1) ；（或等价形式）
(2) （，即轨迹为双曲线在 内的两支）
(3) 见解析（两三角形重心均为 ，其中 为 与 的交点）
✍【详细解析】
Abstract
解：
(1) 分别用不等式组表示 和
由图象可见，直线 与 将平面分为四个区域。
对于右侧区域 ： 动点 位于直线 的下方，即 ； 同时位于直线 的上方，即 ； 且横坐标严格大于零，即 。 所以 表示为：
对于左侧区域 ： 动点 位于直线 的上方（ ）， 的下方（ ），且 。 所以 表示为：
(2) 求点 的轨迹 的方程
直线 和 的一般式方程分别为 和 。 设区域 内的动点为 。由点到直线的距离公式得：
根据题意 ：
因为动点 在区域 内，由第(1)问可知，无论在 还是 中， 与 均同号（同正或同负）。 因此，其乘积必为正数，即： 故可以直接脱去绝对值符号：
所以，点 的轨迹 的方程为：
(3) 证明： 的重心与 的重心重合
设不过原点 的直线 的方程为： （由于 不过原点，故 ）。 要证明两个三角形的重心重合，且它们拥有共同的顶点 ，根据重心公式： 只需证明 线段 的中点与线段 的中点重合 即可。
- 第一步：求 的中点坐标 将 代入曲线 的方程 中： 展开并整理为关于 的一元二次方程：
设 。根据韦达定理，两根之和为： 则 中点的纵坐标 为：
- 第二步：求 的中点坐标 将 分别与直线 和 联立。 即求其交线等价于解方程： 。 将 代入其中：
设 。根据韦达定理，两根之和为： 则 中点的纵坐标 为：
- 第三步：逻辑比对得出结论 显然有 。 由于中点均在直线 上，由 且 可知，其横坐标必然也相等：
由此证得线段 的中点与线段 的中点完全重合。 根据三角形重心坐标公式， 的重心与 的重心重合。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：二元二次曲线与直线的交点理论、弦中点一致性定理、重心几何性质转化。 核心方法：整体代换法、韦达定理中点法。
避坑指南：
- 在设直线方程时，尽量用 替代 。因为如果设 ，需要额外花大精力讨论直线斜率不存在（即垂直于 轴）的特殊情况。采用 可以将倾斜角为 的直线（此时 ）完美融合在一个方程里，避免分类讨论带来的失分风险。
📖【试题探源与推广】
Tip
变式练习：将双曲线的焦点、渐近线或离心率条件互换，验证待定系数法与定义法求标准方程的等价性。
🔗【关联脉络】
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