2005-北京卷理-08 单-三角函数的单调性

本题导读

本题考查二倍角公式的降幂应用、算术平方根的绝对值性质，以及正切函数的单调区间。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(理)） 8. 函数 $f(x)=\frac{\sqrt{1-\cos 2x}}{\cos x}$ 的单调性情况为 ()

A. 在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)$, $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 上递增，在 $\left[\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$, $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right]$ 上递减

B. 在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)$, $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right]$ 上递增，在 $\left[\frac{\pi }{2},\pi \right)$, $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right]$ 上递减

C. 在 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right]$, $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right]$ 上递增，在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)$, $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right]$ 上递减

D. 在 $\left[0,\frac{3\pi }{2}\right)$, $\left(\frac{3\pi }{2},\pi \right]$ 上递增，在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)$, $\left(\frac{\pi }{2},2\pi \right]$ 上递减

🔍【思路分析】

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1. 化简分子根式：利用二倍角公式的余弦变形 $1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x$。将其代入根式，注意开平方时必须加上绝对值： $\sqrt{2{\sin }^{2}x}=\sqrt{2}|\sin x|$。
2. 分区间去掉绝对值：根据四个象限内 $\sin x$ 与 $\cos x$ 的正负号特征，将定义域在 $[0,2\pi ]$ 内按象限分段化简为含有 $\tan x$ 的基本初等函数。
3. 判定各区间的单调性：结合正切函数 $y=\tan x$ 在各区间上的单调性特征，得出复合函数的具体单调区间。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 第一步：函数解析式的代数化简 利用三角函数的二倍角公式 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x⟹1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x$。 将此式代入原函数分子中： $f(x)=\frac{\sqrt{2{\sin }^{2}x}}{\cos x}=\frac{\sqrt{2}|\sin x|}{\cos x}$ 根据分母不为 0 的性质， $\cos x\ne 0⟹x\ne \frac{\pi }{2}$ 且 $x\ne \frac{3\pi }{2}$。

• 第二步：在区间 $[0,2\pi ]$ 内按象限分类讨论去绝对值 根据正弦函数 $\sin x$ 在不同象限的符号特征，将函数进行分段：

1. 当 $x\in \left[0,\frac{\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 时（第一、二象限）， $\sin x⩾0$，则 $|\sin x|=\sin x$： $f(x)=\frac{\sqrt{2}\sin x}{\cos x}=\sqrt{2}\tan x$

2. 当 $x\in \left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)\cup \left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right]$ 时（第三、四象限）， $\sin x<0$，则 $|\sin x|=-\sin x$： $f(x)=\frac{-\sqrt{2}\sin x}{\cos x}=-\sqrt{2}\tan x$

• 第三步：分析各分段区间的单调性 已知基础正切函数 $y=\tan x$ 在其每个独立自然定义域区间 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 和 $\left(\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}\right)$ 内均严格单调递增。

• 在区间 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)$ 和 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 上： $f(x)=\sqrt{2}\tan x$ 由于正数倍数不改变单调性，函数在 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)$ 和 $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right]$ 上均单调递增。

• 在区间 $\left[\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ 和 $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right]$ 上： $f(x)=-\sqrt{2}\tan x$ 由于加入了负号，其单调性与 $\tan x$ 完全相反，故函数在 $\left[\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ 和 $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right]$ 上均单调递减。

对照各选项，(A) 选项的单调性陈述完全符合上述推导。

综合上述， (A) 选项符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二倍角公式的降幂应用、算术平方根的绝对值性质（ $\sqrt{x^2}=|x|$ ）、正切函数的单调区间。 核心方法：分段函数性质分析法。

避坑指南：

• 切勿漏掉开方后的绝对值号。有些同学容易误写成 $\sqrt{{\sin }^{2}x}=\sin x$，从而认为 $f(x)=\sqrt{2}\tan x$ 在整个 $[0,2\pi ]$ 内均表现为递增（在扣除断点后），从而错选其他选项。牢记：在根式开方脱帽时，必须严格检验被开方物的正负性，必要时添加绝对值。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将参数置于区间端点或极值点，讨论单调区间的划分与最值取到的位置，强化导数符号分析。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

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