本题导读
本题考查分步乘法计数原理，以及平均分组分配模型中的“定序与无序”辨析。
📌【题干】
Question
（2005年北京卷(理)） 7. 北京《财富》全球论坛期间，某高校有 14 名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班，每班 4 人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为 ()
A. B.
C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
- 审清题目约束：总共 14 人。每天分早、中、晚三个截然不同的班次（属于“有序分配”问题）。每个班次需要 4 人。由于每人每天最多值一班，意味着这三个班次所选取的志愿者互不相同，总共需要消耗 人。
- 利用分步原理进行选择和分配：
- 第一步：从 14 名志愿者中任意挑出 12 人用于当天的排班。
- 第二步：从选出的 12 人中任意挑出 4 人去值早班。
- 第三步：从剩下的 8 人中任意挑出 4 人去值中班，最后余下的 4 人自动去值晚班（或直接对选出的 12 人进行指定人数的有序分配）。
✅【答案】
Success
A
✍【详细解析】
Abstract
解： 本题属于排列组合中的分步计数与有序分配综合问题。由于早班、中班、晚班是三个不同的班次，故属于定向分配（有序分组）。
可以通过以下分步法完成排班：
第一步：选定参加值班的全部人员 因为每班 4 人，早、中、晚共 3 班，且每人最多值一班，所以当天共有 人需要上岗。 从 14 名候选志愿者中选出 12 人的方法数为：
第二步：为“早班”选择值班人员 从已经选定的 12 名上岗志愿者中，任选 4 人去上早班，方法数为：
第三步：为“中班”选择值班人员 早班人选确定后，还剩下 人。从中任选 4 人去上中班，方法数为：
第四步：为“晚班”安排人员 此时上岗人员中还剩下 人，他们只能且必须全部去上晚班，方法数为 种（在表达式中可省略不写）。
根据分步乘法计数原理，开幕式当天不同的排班种数总共为：
综合上述， (A) 选项符合题意。
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
核心考点：分步乘法计数原理、平均分组分配模型中的“定序与无序”辨析。 核心方法：分步选人法。
避坑指南：
- 切勿盲目除以排列数 。部分同学一看到每组人数相等（均为 4 人），就习惯性地认为需要除以组数的全排列（即 C 选项的除以 ）。需要明确：只有当分组是“无名称、无顺序的平均分组”时才需要消序。而本题中的早、中、晚班有明确的岗位时间区别，在按顺序选人填入早、中、晚班的过程中，各个班次的顺序已经自动确定，因此绝对不需要再除以 。
- 切勿多余乘以排列数 。也有部分同学在使用组合数分步后（ ），误认为还要对早、中、晚班进行一次排列而乘以 （即 D 选项）。因为我们在分步时，“先选出来的 4 人去早班，次选 4 人去中班”这一指派过程已经完成了位置的对号入座，再次乘以 会导致重复计数。
📖【试题探源与推广】
Tip
变式练习：改变元素的限制条件（相邻、不相邻、定序、分组），体会分类讨论与分步计数的配合。
🔗【关联脉络】
Multi column