2005-北京卷理-05 单-三角函数的不等性质

本题导读

本题考查锐角三角函数的符号特征，以及多变量三角不等式的定性辨析。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(理)） 5. 对任意的锐角 $\alpha ,\beta$，下列不等关系中正确的是 ()

A. $\sin (\alpha +\beta )>\sin \alpha +\sin \beta$　B. $\sin (\alpha +\beta )>\cos \alpha +\cos \beta$　C. $\cos (\alpha +\beta )<\sin \alpha +\sin \beta$　D. $\cos (\alpha +\beta )<\cos \alpha +\cos \beta$

🔍【思路分析】

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1. 利用特殊值法快速筛选：由于题目要求对“任意”锐角 $\alpha ,\beta$ 均成立，可以通过带入特殊的锐角（如 $\alpha =\beta =45^{\circ }$ 或接近 $0^{\circ },90^{\circ }$ 的角）来定性排除错误选项。
2. 严密代数逻辑论证：

• 分析 $\cos (\alpha +\beta )$ 的符号：当 $\alpha ,\beta$ 为锐角时， $\alpha +\beta \in (0,\pi )$， $\cos (\alpha +\beta )<1$。
• 分析两端代数式的取值范围：根据锐角三角函数的性质， $\sin \alpha ,\sin \beta ,\cos \alpha ,\cos \beta$ 均为正数。通过放大缩小法比较两边大小。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：

• 方法一：特殊值排除法（高效秒杀） 令 $\alpha =\beta =45^{\circ }$（均为满足题意的锐角）。代入各选项中进行数值检验： 此时 $\alpha +\beta =90^{\circ }$， 对应的三角函数值为： $\sin (\alpha +\beta )=\sin 90^{\circ }=1,\cos (\alpha +\beta )=\cos 90^{\circ }=0$ $\sin \alpha =\sin \beta =\cos \alpha =\cos \beta =\frac{\sqrt{2}}{2}$

• 验证 A：左边 $=1$，右边 $=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\approx 1.414$。因为 $1<\sqrt{2}$，所以 $A$ 错误。

• 验证 B：左边 $=1$，右边 $=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$。因为 $1<\sqrt{2}$，所以 $B$ 错误。

• 再令 $\alpha =\beta =60^{\circ }$ 验证 C： 此时 $\alpha +\beta =120^{\circ }$， 对应的三角函数值为： $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2},\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 左边 $=-\frac{1}{2}$，右边 $=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\approx 1.732$。虽然此时 $-\frac{1}{2}<\sqrt{3}$ 成立，但若取 $\alpha ,\beta$ 为接近 $0^{\circ }$ 的极小锐角（例如 $\alpha =\beta =1^{\circ }$）： 左边 $\cos 2^{\circ }\approx 0.999$，右边 $\sin 1^{\circ }+\sin 1^{\circ }\approx 0.017+0.017=0.034$。此时左边 $>$ 右边，因此 $C$ 选项不能对任意锐角恒成立，错误。

通过排除法，可直接确定 (D) 选项正确。

• 方法二：严密代数性质法（定性分析） 因为 $\alpha ,\beta$ 是任意锐角，所以有： $0<\alpha <\frac{\pi }{2},0<\beta <\frac{\pi }{2}⟹0<\alpha +\beta <\pi$ 根据余弦函数的有界性，在 $(0,\pi )$ 上恒有： $\cos (\alpha +\beta )<1$

同时，在第一象限内，锐角的余弦值恒为正数，即 $\cos \alpha >0,\cos \beta >0$。 由于 $\alpha$ 是锐角，根据单位圆性质（或 $y=\cos x$ 在 $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 上的单调性与诱导公式），恒有： $\cos \alpha +\cos \beta >\cos \alpha \cdot \cos \beta +\sin \alpha \cdot \sin \beta =\cos (\alpha -\beta )$ 更直观地，在 $\alpha ,\beta \in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ 时，恒满足不等式： $\cos \alpha +\cos \beta >1(\text{当 }\alpha +\beta <\frac{\pi }{2}\text{ 时})$ 即使当 $\alpha +\beta ⩾\frac{\pi }{2}$ 时， $\cos (\alpha +\beta )⩽0$，而由于 $\cos \alpha >0,\cos \beta >0⟹\cos \alpha +\cos \beta >0$。负数必然小于正数。

因此，无论 $\alpha +\beta$ 的范围落在哪一个象限，其对应的余弦值 $\cos (\alpha +\beta )$ 永远严格小于其两个独立分量余弦值之和 $\cos \alpha +\cos \beta$。 即 $\cos (\alpha +\beta )<\cos \alpha +\cos \beta$ 恒成立。

综合上述， (D) 选项符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：锐角三角函数的符号特征、多变量三角不等式的定性辨析。 核心方法：特殊值排除法（应对客观题最高效手段）。

避坑指南：

• 切勿在线索不全时盲目进行复杂的公式展开。如果试图通过 $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ 去和右侧做减法证明，会陷入极其复杂的因式转化中。利用“特殊值法”可以迅速在 30 秒内剔除掉三个错误答案，是高考试卷第一卷中最核心的应试策略。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将角或系数推广，用辅助角公式与诱导公式化简后求周期、值域与最值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)