2005-北京卷理-03 单-平面向量的数量积运算

本题导读

本题考查向量垂直的充要条件，以及平面向量夹角余弦公式。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(理)） 3. 若 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2,\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$，且 $\vec{c}\perp \vec{a}$，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 ()

A. $30^{\circ }$　　　　　　B. $60^{\circ }$　　　　　　C. $120^{\circ }$　　　　　　D. $150^{\circ }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化垂直条件为数量积方程：根据向量垂直的充要条件 $\vec{c}\perp \vec{a}⟺\vec{c}\cdot \vec{a}=0$。
2. 代入展开求数量积：将 $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$ 代入上述方程，展开得到关于 ${\vec{a}}^2$ 和 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的代数式，代入模长 $|\vec{a}|=1$ 求出 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 的值。
3. 计算夹角余弦值并求解：利用向量夹角公式 $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$ 算得余弦值，结合夹角范围 $\theta \in [0^{\circ },180^{\circ }]$ 确定最终角度。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

解： 设向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\theta$，其中 $\theta \in [0^{\circ },180^{\circ }]$。

• 第一步：建立数量积方程 因为 $\vec{c}\perp \vec{a}$，根据平面向量数量积的几何性质，两非零向量垂直对应的数量积恒为 0： $\vec{c}\cdot \vec{a}=0$

• 第二步：代入化简求出 $\vec{a}\cdot \vec{b}$ 将 $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$ 代入上式中： $(\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{a}=0$ 根据数量积的分配律展开各项： ${\vec{a}}^2+\vec{b}\cdot \vec{a}=0$ 注意到 ${\vec{a}}^2=|\vec{a}{|}^2$，且已知 $|\vec{a}|=1$： $1^2+\vec{a}\cdot \vec{b}=0⟹\vec{a}\cdot \vec{b}=-1$

• 第三步：应用夹角公式求 $\theta$ 根据向量的夹角计算通式： $\cos \theta =\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$ 将已知的模长 $|\vec{a}|=1,|\vec{b}|=2$ 以及求得的 $\vec{a}\cdot \vec{b}=-1$ 代入： $\cos \theta =\frac{-1}{1\times 2}=-\frac{1}{2}$

因为 $\theta \in [0^{\circ },180^{\circ }]$，且 $\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$，所以： $\theta =120^{\circ }$

综合上述， (C) 选项符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量垂直的充要条件（ $\vec{m}\perp \vec{n}⟺\vec{m}\cdot \vec{n}=0$ ）、平面向量夹角余弦公式。 核心方法：整体数量积代换法。

避坑指南：

• 切勿漏掉余弦值的负号。计算得出 $\vec{a}\cdot \vec{b}=-1⟹\cos \theta =-\frac{1}{2}$。如果粗心漏掉负号算成 $\frac{1}{2}$，就会误选 $60^{\circ }$（B选项）。数量积为负，说明两向量夹角为钝角。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将向量条件改为模长或夹角已知，用数量积坐标运算反求参数，体会向量代数的通性通法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积

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