2005-北京卷理-02 单-充分必要条件的判定

本题导读

本题考查两条直线的系数特征与位置关系判定，以及常用逻辑用语条件推导。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(理)） 2. “$m=\frac{1}{2}$”是“直线 $(m+2)x+3my+1=0$ 与直线 $(m-2)x+(m+2)y-3=0$ 相互垂直”的 ()

A. 充分必要条件　　　　　　　　　　　B. 充分而不必要条件

C. 必要而不充分条件　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 推导直线垂直的代数充要条件：对于两条一般式直线 $A_{1}x+B_{1}y+C_1=0$ 与 $A_{2}x+B_{2}y+C_2=0$，它们相互垂直的充要条件是 $A_1{A}_2+B_1{B}_2=0$，由此可以完全避免对斜率是否存在（分母是否为 0）进行分类讨论。
2. 求解参数 $m$ 的全部解：代入各项系数，列出关于 $m$ 的一元二次方程，求出使得两直线垂直的全体 $m$ 值。
3. 判定逻辑充分必要性：对比已知条件 “$m=\frac{1}{2}$” 与解出的集合，判定其属于充分、必要还是充要条件。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

解： 设直线 $l_1:(m+2)x+3my+1=0$，直线 $l_2:(m-2)x+(m+2)y-3=0$。

• 第一步：利用一般式垂直条件建立方程 根据平面解析几何定理，直线 $l_1\perp l_2$ 的充要条件为其 $x$ 与 $y$ 的系数乘积之和为 0： $(m+2)(m-2)+3m(m+2)=0$

• 第二步：展开并求解一元二次方程 利用平方差公式与乘法分配律展开上式： $(m^2-4)+(3m^2+6m)=0$ 合并同类项得： $4m^2+6m-4=0$ 各项同除以 2 化简得： $2m^2+3m-2=0$ 对左侧式子进行十字相乘法因式分解： $(2m-1)(m+2)=0$ 解得： $m=\frac{1}{2}\text{或}m=-2$ 即“两直线相互垂直”的充要条件是 $m\in \left\{-2,\frac{1}{2}\right\}$。

• 第三步：进行双向逻辑判定

• 充分性：由 $m=\frac{1}{2}$ 成立，必然能推出 $m=\frac{1}{2}$ 或 $m=-2$ 成立（两直线垂直），充分性成立。

• 必要性：由两直线相互垂直，只能推得 $m$ 的值为 $\frac{1}{2}$ 或 $-2$，并不能唯一确定 $m$ 必须是 $\frac{1}{2}$（因为 $m$ 还可以等于 $-2$），必要性不成立。

综上所述，“$m=\frac{1}{2}$”是“两直线相互垂直”的充分而不必要条件。

综合上述， (B) 选项符合题意。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：两条直线的系数特征与位置关系判定、常用逻辑用语条件推导。 核心方法：一般式法（ $A_1{A}_2+B_1{B}_2=0$ ）。

避坑指南：

• 切勿盲目使用斜率乘积 $k_1{k}_2=-1$ 列方程。如果化为斜截式写出斜率 $k_1=-\frac{m+2}{3m},k_2=-\frac{m-2}{m+2}$，首先需要分类讨论分母 $3m\ne 0$ 和 $m+2\ne 0$（即 $m\ne 0$ 且 $m\ne -2$）。这样做极易在运算过程中将隐蔽的 $m=-2$ 作为非法分母直接漏掉，导致解集不全。牢记：用一般式系数公式 $A_1{A}_2+B_1{B}_2=0$ 没有任何分母限制，最为高效安全。

📖【试题探源与推广】

Tip

变式练习：将圆的方程或直线条件改变，用几何法（垂径定理、切线性质）简化运算，避免盲目联立。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 16.03 两条直线的位置关系判定

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