2005-北京卷文-17 解-数列递推通项与偶项和

本题导读

本题考查数列的递推关系与等比数列的通项、求和。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(文)） 数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $a_1=1$，$a_{n+1}=\frac{1}{3}{S}_n$，$n=1,2,3,\cdots$，求：

(1) $a_2$，$a_3$，$a_4$ 的值及数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) $a_2+a_4+a_6+\cdots +a_{2n}$ 的值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a_2=\frac{1}{3}{S}_1=\frac{1}{3}$；$n\ge 2$ 时 $S_n=\frac{4}{3}{S}_{n-1}$，故 $a_{n+1}=\frac{4}{3}{a}_n$。
2. 逐个算 $a_3=\frac{4}{9}$，$a_4=\frac{16}{27}$；通项分段：$a_1=1$，$n\ge 2$ 时 $a_n=\frac{1}{3}{\left(\frac{4}{3}\right)}^{n-2}$。
3. (2) $a_2,a_4,\cdots ,a_{2n}$ 是首项 $\frac{1}{3}$、公比 ${\left(\frac{4}{3}\right)}^2$ 的等比数列，用求和公式。

✅【答案】

Success

(1) $a_2=\frac{1}{3}$，$a_3=\frac{4}{9}$，$a_4=\frac{16}{27}$；通项 $a_n=\{\begin{array}{ll}1,& n=1\\ \frac{1}{3}{\left(\frac{4}{3}\right)}^{n-2},& n\ge 2\end{array}$

(2) $a_2+a_4+\cdots +a_{2n}=\frac{3}{7}\left[{\left(\frac{4}{3}\right)}^{2n}-1\right]$

✍【详细解析】

Abstract

(1) $a_2=\frac{1}{3}{S}_1=\frac{1}{3}$．又 $S_n=S_{n-1}+a_n=S_{n-1}+\frac{1}{3}{S}_{n-1}=\frac{4}{3}{S}_{n-1}$（$n\ge 2$），所以 $a_{n+1}=\frac{4}{3}{a}_n$（$n\ge 2$）． 因此 $a_3=\frac{4}{9}$，$a_4=\frac{16}{27}$，且当 $n\ge 2$ 时，$a_n=\frac{1}{3}{\left(\frac{4}{3}\right)}^{n-2}$． (2) $a_2+a_4+\cdots +a_{2n}=\frac{1}{3}\left[1+{\left(\frac{4}{3}\right)}^2+\cdots +{\left(\frac{4}{3}\right)}^{2n-2}\right]=\frac{1}{3}\cdot \frac{{\left(\frac{4}{3}\right)}^{2n}-1}{{\left(\frac{4}{3}\right)}^2-1}=\frac{3}{7}\left[{\left(\frac{4}{3}\right)}^{2n}-1\right]$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：数列递推通项与偶项和

核心方法：和与项互化转等比，分段写通项

避坑指南：$a_2=\frac{1}{3}$，$n\ge 2$ 时 $a_{n+1}=\frac{4}{3}{a}_n$，$a_n=\frac{1}{3}{\left(\frac{4}{3}\right)}^{n-2}$；偶项和 $\frac{3}{7}\left[{\left(\frac{4}{3}\right)}^{2n}-1\right]$；$n=1$ 时通项不适用别忘分段

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数列递推关系（人教 A 版选择性必修二）

结论推广：$a_{n+1}=k{S}_n$ 型：相邻两项相减得 $a_{n+1}=(1+k)a_n$（$n\ge 2$），$n=1$ 单独验证；隔项子列直接用等比求和

方法推广：和与项互化是 $S_n$ 递推题的第一反应，注意通项的适用范围分段

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 2007-北京文-16 解-递推数列等比条件
• 2010-北京文-16 解-等差等比求和