2005-北京卷文-10 填-二项展开式常数项

本题导读

本题考查二项式定理与展开式中的常数项。

📌【题干】

Question

（2005年北京卷(文)） ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^6$ 的展开式中的常数项是$\underline{}$．（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r{x}^{6-r}{\left(-\frac{1}{x}\right)}^r={\mathrm{C}}_6^r(-1{)}^r{x}^{6-2r}$。
2. 常数项要求 $6-2r=0$，得 $r=3$。
3. 常数项 ${\mathrm{C}}_6^3(-1{)}^3=20\times (-1)=-20$。

✅【答案】

Success

$-20$

✍【详细解析】

Abstract

展开式的通项为 ${\mathrm{C}}_6^r{x}^{6-r}{\left(-x^{-1}\right)}^r={\mathrm{C}}_6^r(-1{)}^r{x}^{6-2r}$．要得到常数项，必须有 $6-2r=0$，即 $r=3$， 所以常数项为 ${\mathrm{C}}_6^3(-1{)}^3=20\times (-1)=-20$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项展开式常数项

核心方法：通项公式定位，指数为零解 r

避坑指南：$T_{r+1}={\mathrm{C}}_6^r{x}^{6-r}{\left(-\frac{1}{x}\right)}^r={\mathrm{C}}_6^r(-1{)}^r{x}^{6-2r}$，令 $6-2r=0$ 得 $r=3$，常数项 ${\mathrm{C}}_6^3(-1{)}^3=-20$；符号 $(-1{)}^r$ 别丢

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式定理通项（人教 A 版选择性必修三）

结论推广：$(a+b{)}^n$ 通项 $T_{r+1}={\mathrm{C}}_n^r{a}^{n-r}{b}^r$；常数项即 $x$ 指数为 $0$ 的项

方法推广：通项定位法（令指数为零）求常数项、有理项、系数最值是二项式题的通用入口

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷文-13 填-二项式定理系数
• 2007-大纲卷I理-10 单-二项展开式通项公式常数项