2005-全国卷III理-21 解-抛物线的几何性质与焦点

本题导读

本题核心考查抛物线中动弦垂直平分线的几何与代数性质。第一问需对特殊斜率情况进行全面分类讨论；第二问利用两点相异性建立根的判别式约束，求解截距取值范围。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(理)） 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 两点在抛物线 $y=2x^2$ 上，$l$ 是 $AB$ 的垂直平分线.

(1)当且仅当 $x_1+x_2$ 取何值时，直线 $l$ 经过抛物线的焦点 $F$？证明你的结论；

(2)当直线 $l$ 的斜率为 2 时，求 $l$ 在 $y$ 轴上截距的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：由抛物线方程确定焦点 $F\left(0,\frac{1}{8}\right)$。分 $x_1+x_2=0$（$AB$ 水平，则 $l$ 为 $y$ 轴）和 $x_1+x_2\ne 0$ 两类讨论，通过联立中点与斜率方程进行定性论证。
2. 第二问：由 $l$ 的斜率为 2 逆推出 $x_1+x_2=-\frac{1}{4}$。用 $x_1+x_2$ 与 $x_1^2+x_2^2$ 表达出 $l$ 的点斜式方程及其 $y$ 轴截距，利用 $x_1\ne x_2$ 这一隐含条件建立均值不等式（或判别式）控制截距的下界。

✅【答案】

Success

当且仅当 $x_1+x_2=0$ 时，直线 $l$ 经过抛物线的焦点 $F$

✍【详细解析】

Abstract

解：将抛物线方程化为标准形式 $x^2=\frac{1}{2}y$，其焦点坐标为 $F\left(0,\frac{1}{8}\right)$。 因为 $A,B$ 在抛物线上，可设 $A(x_1,2x_1^2),B(x_2,2x_2^2)$，且 $x_1\ne x_2$。 线段 $AB$ 的中点为 $M\left(\frac{x_1+x_2}{2},x_1^2+x_2^2\right)$。 当 $x_1+x_2\ne 0$ 时，直线 $AB$ 的斜率为 $k_{AB}=\frac{2x_2^2-2x_1^2}{x_2-x_1}=2(x_1+x_2)$。

（1）当且仅当 $x_1+x_2=0$ 时，直线 $l$ 经过焦点 $F$。 证明如下： ① 充分性：若 $x_1+x_2=0$，由于 $x_1\ne x_2$，则 $x_1\ne 0$。 此时，中点 $M$ 的坐标为 $(0,2x_1^2)$，且直线 $AB$ 的斜率 $k_{AB}=0$（即 $AB$ 平行于 $x$ 轴）。 因此，其垂直平分线 $l$ 为垂直于 $x$ 轴的直线，方程为 $x=0$（即 $y$ 轴）。 由于焦点 $F\left(0,\frac{1}{8}\right)$ 在 $y$ 轴上，所以直线 $l$ 必经过焦点 $F$。

② 必要性：若直线 $l$ 经过焦点 $F\left(0,\frac{1}{8}\right)$。 假设 $x_1+x_2\ne 0$，则 $l$ 的斜率 $k_l=-\frac{1}{k_{AB}}=-\frac{1}{2(x_1+x_2)}$。 此时直线 $l$ 的方程为： $y-(x_1^2+x_2^2)=-\frac{1}{2(x_1+x_2)}\left(x-\frac{x_1+x_2}{2}\right)$ 将焦点 $F\left(0,\frac{1}{8}\right)$ 代入上式得： $\frac{1}{8}-(x_1^2+x_2^2)=-\frac{1}{2(x_1+x_2)}\left(0-\frac{x_1+x_2}{2}\right)=\frac{1}{4}$ 整理得： $x_1^2+x_2^2=\frac{1}{8}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{8}$ 由于 $x_1,x_2$ 为实数且 $x_1\ne x_2$，必有 $x_1^2+x_2^2>0$，故上式无实数解。 因此必有 $x_1+x_2=0$。

综上所述，当且仅当 $x_1+x_2=0$ 时，直线 $l$ 经过抛物线的焦点 $F$。

（2）当直线 $l$ 的斜率为 2 时，有： $-\frac{1}{2(x_1+x_2)}=2⟹x_1+x_2=-\frac{1}{4}$ 此时，中点 $M$ 的横坐标为 $x_M=\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{1}{8}$，纵坐标为 $y_M=x_1^2+x_2^2$。 直线 $l$ 的方程为 $y-y_M=2(x-x_M)$，即 $y=2x+y_M-2x_M$。 所以 $l$ 在 $y$ 轴上的截距 $m$ 为： $m=y_M-2x_M=x_1^2+x_2^2-2\left(-\frac{1}{8}\right)=x_1^2+x_2^2+\frac{1}{4}$

因为 $x_1\ne x_2$，根据不相等的实数平方和性质： $x_1^2+x_2^2=\frac{(x_1+x_2{)}^2+(x_1-x_2{)}^2}{2}>\frac{(x_1+x_2{)}^2}{2}$ 代入 $x_1+x_2=-\frac{1}{4}$ 得： $x_1^2+x_2^2>\frac{{\left(-\frac{1}{4}\right)}^2}{2}=\frac{1}{32}$

因此，截距 $m$ 的范围为： $m>\frac{1}{32}+\frac{1}{4}=\frac{9}{32}$

答：直线 $l$ 在 $y$ 轴上截距的取值范围是 $\left(\frac{9}{32},+\infty \right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线的焦点坐标公式、相互垂直直线的斜率关系、二次代数式在相异实数条件下的极值边界。
2. 核心方法：分类讨论法、代数不等式缩放法。
3. 避坑指南：

• 第一问中，直接求斜率 $k_l$ 隐含了分母 $x_1+x_2\ne 0$ 的限制，必须先单独将 $x_1+x_2=0$ 提取出来做完备性论证，否则整个逻辑链条会残缺。
• 第二问中，容易忽视 $A,B$ 是相异两点（即 $x_1\ne x_2$）这一物理约束，从而错误地在 $x_1^2+x_2^2\ge \frac{1}{32}$ 中取了闭区间端点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于解析几何中关于“弦的垂直平分线特征”的典型题型。它摒弃了盲目联立消元带来庞大运算的旧套路，侧重考查利用弦长中点与斜率交互关系的代数解耦能力。
2. 结论推广：对于任意抛物线 $y=a{x}^2$ ($a\ne 0$)，其上两点 $A,B$ 构成的垂直平分线 $l$ 经过焦点的充要条件恒为 $x_1+x_2=0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 18.08 一般曲线与方程

类题演练 (Links)