2005-全国卷III理-10 单-椭圆的几何性质与通径公式

本题导读

本题核心考查椭圆的几何性质及离心率的求解。通过过焦点的垂线段（通径的一半）与焦距的数量关系，建立关于 $a,c$ 的齐次方程，进而解出离心率。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(理)） 设椭圆的两焦点分别为 $F_1、F_2$，过 $F_2$ 作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 $P$，若 $△F_{1}P{F}_2$ 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()

A. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}-1}{2}$　　　　　　C. $2-\sqrt{2}$　　　　　　D. $\sqrt{2}-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设椭圆标准方程，确定过焦点且垂直于长轴的弦长（通径）的一半为 $\frac{b^2}{a}$。
2. 根据 $△F_{1}P{F}_2$ 为等腰直角三角形且直角在 $F_2$ 处，得出直角边相等关系 $|P{F}_2|=|F_1{F}_2|=2c$。
3. 利用 $b^2=a^2-c^2$ 转化为关于 $a,c$ 的齐次方程，两边同除以 $a^2$ 构造关于离心率 $e$ 的二次方程求解。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

不妨设椭圆的标准方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$)，焦点在 $x$ 轴上，则 $F_1(-c,0)$, $F_2(c,0)$。 过 $F_2$ 作长轴的垂线，直线方程为 $x=c$。 将 $x=c$ 代入椭圆方程得： $\frac{c^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1⟹\frac{y^2}{b^2}=1-\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2-c^2}{a^2}=\frac{b^2}{a^2}⟹y=\pm \frac{b^2}{a}$

不妨取点 $P\left(c,\frac{b^2}{a}\right)$，则有 $P{F}_2\perp F_1{F}_2$，即 $\angle P{F}_2{F}_1=90^{\circ }$。 因为 $△F_{1}P{F}_2$ 为等腰直角三角形，所以两条直角边相等： $|P{F}_2|=|F_1{F}_2|$

已知 $|P{F}_2|=\frac{b^2}{a}$，焦距 $|F_1{F}_2|=2c$，代入得： $\frac{b^2}{a}=2c$

将 $b^2=a^2-c^2$ 代入上式变形为： $a^2-c^2=2ac$

两边同时除以 $a^2$，并设离心率 $e=\frac{c}{a}$ ($0<e<1$)： $1-e^2=2e⟹e^2+2e-1=0$

解此一元二次方程得： $e=\frac{-2\pm \sqrt{2^2-4\times 1\times (-1)}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{2}}{2}=-1\pm \sqrt{2}$

由于椭圆的离心率满足 $0<e<1$，故舍去负根，得： $e=\sqrt{2}-1$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的通径长公式 $2\cdot \frac{b^2}{a}$、离心率 $e=\frac{c}{a}$ 的一元二次方程构筑。
2. 核心方法：齐次方程转化法。
3. 避坑指南：

• 认清直角位置：在 $△F_{1}P{F}_2$ 中，由于 $P{F}_2$ 垂直于长轴，直角必然在 $F_2$ 处，因此等腰条件是 $|P{F}_2|=|F_1{F}_2|$，不要盲目当作斜边相等。
• 方程求根符号：解得 $e=-1\pm \sqrt{2}$ 后，须根据椭圆离心率的物理意义（$0<e<1$）剔除 $-1-\sqrt{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中椭圆“通径”概念的延伸应用。通径是圆锥曲线中非常重要的特征线段，其与焦距的比例直接决定了曲线的扁平程度（即离心率）。
2. 结论推广：对于椭圆，若过焦点的垂线与双焦点构成的三角形为等腰直角三角形，其离心率恒为 $\sqrt{2}-1$；若将本题背景平移至双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，则对应直角边关系为 $\frac{b^2}{a}=2c⟹c^2-a^2=2ac⟹e^2-2e-1=0$，解得其离心率恒为 $\sqrt{2}+1$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)