2005-全国卷III理-05 单-极限的定义与因式分解

本题导读

本题核心考查有理分式“$\infty -\infty$”型未定式的极限求解。通过对分母进行因式分解并通分，消除导致分母为零的因子，从而将未定式转化为可直接代入求值的常数极限。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(理)） ${\lim }_{x\to 1}\left(\frac{1}{x^2-3x+2}-\frac{2}{x^2-4x+3}\right)=$()

A. $-\frac{1}{2}$　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　C. $-\frac{1}{6}$　　　　　　D. $\frac{1}{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分别对两个分式的分母进行十字相乘因式分解，找出它们的公分母。
2. 进行通分合并，化简分子，暴露出分子与分母中共同拥有的零因子 $(x-1)$。
3. 约去零因子 $(x-1)$ 后，直接将 $x=1$ 代入剩余的表达式中计算出极限值。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

首先对两个分式的分母进行因式分解： $x^2-3x+2=(x-1)(x-2)$ $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$

将因式分解后的结果代入原极限式中： ${\lim }_{x\to 1}\left[\frac{1}{(x-1)(x-2)}-\frac{2}{(x-1)(x-3)}\right]$

对括号内的代数式进行通分，公分母为 $(x-1)(x-2)(x-3)$： $={\lim }_{x\to 1}\frac{(x-3)-2(x-2)}{(x-1)(x-2)(x-3)}$ $={\lim }_{x\to 1}\frac{x-3-2x+4}{(x-1)(x-2)(x-3)}$ $={\lim }_{x\to 1}\frac{-x+1}{(x-1)(x-2)(x-3)}$ $={\lim }_{x\to 1}\frac{-(x-1)}{(x-1)(x-2)(x-3)}$

由于 $x\to 1$ 轴限制下 $x\ne 1$，因此可以约去分子与分母中的零因子 $(x-1)$： $={\lim }_{x\to 1}\frac{-1}{(x-2)(x-3)}$

直接代入 $x=1$ 计算： $=\frac{-1}{(1-2)(1-3)}=\frac{-1}{(-1)\times (-2)}=-\frac{1}{2}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：有理分式代数化简极限、零因子消去法。
2. 核心方法：因式分解通分法。
3. 避坑指南：

• 不能直接把 $x=1$ 代入两个分式，因为两项均会变成分母为 0 的形式（即 $\infty -\infty$ 型未定式），必须先通分化简。
• 分子在化简 $(x-3)-2(x-2)$ 时，注意减号后整体括号的变号，避免错算为 $-x+7$ 等错误结果。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自高等数学及高中微积分初步中关于“未定式极限”的最基础概念，旨在通过有理分式的初等代数变换考查考生的基础运算能力。
2. 结论推广：对于形如 ${\lim }_{x\to x_0}\left(\frac{A}{P(x)}-\frac{B}{Q(x)}\right)$ 的极限，若直接代入呈现 $\infty -\infty$ 状态，通用解决方法是通过通分将其转化为 $\frac{0}{0}$ 型，再通过约分或洛必达法则进行解决。

🔗【关联脉络】

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