本题导读
本题核心考查三棱柱与棱锥之间的体积数量关系。通过利用平面几何面积分配规律以及空间几何体体积的分割与转化，实现复杂棱锥体积的精确计算。
📌【题干】
Question
（2005年全国卷III(理)） 设三棱柱 的体积为 ， 分别是侧棱 上的点，且 ，则四棱锥 的体积为()
A. B. C. D.
🔍【思路分析】
破题导航
- 解法一（特殊位置法）：由于题目中 的位置具有一般性，可取两点的特殊对称位置（如侧棱中点）进行简化计算。
- 解法二（常规推导法）：利用底面侧棱平行原理，先确定截面 的面积占侧面平行四边形总面积的比例，再结合三棱柱经典的“一割三”体积划分比例完成解算。
✅【答案】
Success
C
✍【详细解析】
Abstract
解法一：特殊位置法 因为 是侧棱 上的任意点，且满足 ，其体积结果为定值。 取特殊位置：设 分别为侧棱 的中点，此时四边形 为平行四边形，其面积恰好等于侧面平行四边形 面积的 ，即：
根据锥体体积公式，四棱锥 与四棱锥 共享同一个顶点 ，故它们到侧面 的高相同。因此体积满足：
根据三棱柱的结构特征，整个三棱柱可划分为三棱锥 与四棱锥 两部分。 其中三棱锥 的底面积与高均与原三棱柱相同，由锥体体积公式可知：
从而四棱锥 的体积为：
代入比例关系得所求四棱锥的体积为：
解法二：常规推导法 设三棱柱的侧棱长 ，侧棱 与 之间的距离为 。 则侧面 的面积为 。 因为 ，所以 。 根据梯形面积公式，四边形 的面积为：
设顶点 到侧面 的距离为 ，则有：
由于 ，故：
故选 C
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：三棱柱的常规体积分割（一个三棱柱可拆分为一个 的三棱锥和一个 的四棱锥）、等高锥体的体积线性缩放。
- 核心方法：特殊位置法、等高面积比值法。
- 避坑指南：避免直接设底面三角形的底和高去进行繁琐的三维空间坐标或三角函数推导。利用整体体积分割（）的经典几何结论可实现秒杀。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题源自多面体体积计算的经典立体几何割补模型，侧重考查空间构型中局部与整体的面积/体积线性变动规律。
- 结论推广：在任意三棱柱 中，若 分别在侧棱 上移动，只要满足 （或等价的 ），以 或者是侧棱 上任意一点为顶点的四棱锥 的体积恒为定值 。
🔗【关联脉络】
Multi column