2005-全国卷III理-02 单-直线的斜率公式

本题导读

本题核心考查平面解析几何中两直线平行的条件。通过两点斜率公式建立关于未知数 $m$ 的代数方程，转化为一元一次方程进行求解。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(理)） 已知过点 $A(-2,m)$ 和 $B(m,4)$ 的直线与直线 $2x+y-1=0$ 平行，则 $m$ 的值为()

A. 0　　　　　　　B. -8　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 10

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由已知直线 $2x+y-1=0$ 的方程求出其斜率 $k_1=-2$。
2. 运用两点斜率公式表示出过 $A,B$ 两点的直线斜率 $k_2$。
3. 根据两直线平行的充要条件（斜率相等且在 $y$ 轴截距不等），令 $k_2=k_1$，列出一元一次方程求出 $m$ 的值。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

已知直线 $l_1$ 的方程为 $2x+y-1=0$，将其化为斜截式得 $y=-2x+1$， 故直线 $l_1$ 的斜率 $k_1=-2$。

设过点 $A(-2,m)$ 和 $B(m,4)$ 的直线为 $l_2$。 当直线 $l_2$ 的斜率存在时，根据两点斜率公式，其斜率 $k_2$ 为： $k_2=\frac{4-m}{m-(-2)}=\frac{4-m}{m+2}$

因为直线 $l_2$ 与直线 $l_1$ 平行，所以两直线的斜率相等，即 $k_2=k_1$： $\frac{4-m}{m+2}=-2$

去分母展开得： $4-m=-2(m+2)$ $4-m=-2m-4$

移项合并同类项得： $m=-8$

验证截距：当 $m=-8$ 时，点 $A(-2,-8)$，直线 $l_2$ 方程为 $y-4=-2(x+8)⟹2x+y+12=0$，与 $l_1:2x+y-1=0$ 不重合，满足平行条件。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线的斜率公式 $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$、两条非重合直线平行的充要条件 $k_1=k_2$。
2. 核心方法：方程法（利用几何关系建立代数方程）。
3. 避坑指南：

• 符号陷阱：在分母计算 $x_2-x_1=m-(-2)$ 时，极易因粗心错写为 $m-2$，导致计算结果偏差。
• 截距验证：虽然本题为选择题，但在解答非选择题时，务必在算出 $m$ 后口算验证两直线是否重合，确保逻辑完整。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中“两条直线平行与垂直的判定”章节的最基础课后作业题，旨在测验高考生对解析几何初级核心工具（斜率）的计算熟练度。
2. 结论推广：对于过点 $A(x_1,y_1)$ 和 $B(x_2,y_2)$ 的直线与已知一般式直线 $Ax+By+C=0$ ($B\ne 0$) 平行，可直接利用无分母交叉相乘法建立方程：$A(x_2-x_1)+B(y_2-y_1)=0$。代入本题数据即得 $2(m+2)+1(4-m)=0⟹m+8=0⟹m=-8$，可有效规避分母为 0 的潜在讨论风险。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 16.01 直线的倾斜角与斜率
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练 (Links)