2005-全国卷III文-17 解-正弦型函数正区间

本题导读

本题考查二倍角公式、三角方程与三角函数的值域。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(文)） 已知函数 $f(x)=2{\sin }^{2}x+\sin 2x$，$x\in [0,2\pi ]$．求使 $f(x)$ 为正值的 $x$ 的集合．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $\sin 2x=2\sin x\cos x$，$f(x)=2{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x=2\sin x(\sin x+\cos x)$。
2. 在 $[0,2\pi ]$ 上，$\sin x=0$ 的零点为 $0,\pi ,2\pi$，$\sin x+\cos x=0$ 的零点为 $\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$。
3. 逐段判断两因子符号，得正区间 $\left(0,\frac{3\pi }{4}\right)\cup \left(\pi ,\frac{7\pi }{4}\right)$。

✅【答案】

Success

$\left(0,\frac{3\pi }{4}\right)\cup \left(\pi ,\frac{7\pi }{4}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\sin 2x=2\sin x\cos x$，得 $f(x)=2{\sin }^{2}x+2\sin x\cos x=2\sin x(\sin x+\cos x)$． 在 $[0,2\pi ]$ 上，$\sin x=0$ 的零点为 $0,\pi ,2\pi$，$\sin x+\cos x=0$ 的零点为 $\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$． 逐段判断两因子符号：在 $\left(0,\frac{3\pi }{4}\right)$ 和 $\left(\pi ,\frac{7\pi }{4}\right)$ 内两因子同号，乘积为正；其余区间乘积为负或为零． 因此使 $f(x)$ 为正值的 $x$ 的集合为 $\left(0,\frac{3\pi }{4}\right)\cup \left(\pi ,\frac{7\pi }{4}\right)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦型函数正区间

核心方法：$f(x)=2{\sin }^{2}x+\sin 2x=2\sin x(\sin x+\cos x)$，零点 $0,\pi ,2\pi ,\frac{3\pi }{4},\frac{7\pi }{4}$；正区间为 $\left(0,\frac{3\pi }{4}\right)\cup \left(\pi ,\frac{7\pi }{4}\right)$

避坑指南：因式分解后逐段判符号；正区间 $\left(0,\frac{3\pi }{4}\right)\cup \left(\pi ,\frac{7\pi }{4}\right)$，别漏端点或取错段

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正弦型函数正区间是三角综合

结论推广：因式分解后按零点分段判号

方法推广：先求零点再逐段定符号，写出正区间

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-06 单-三角奇偶周期
• 2009-大纲Ⅰ文-10 单-余弦对称中心