2005-全国卷III文-14 填-三点共线定参数

本题导读

本题考查三点共线定参数，以及向量共线坐标交叉相等。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(文)） 已知向量 $\overrightarrow{OA}=(k,12)$，$\overrightarrow{OB}=(4,5)$，$\overrightarrow{OC}=(-k,10)$，且 $A$、$B$、$C$ 三点共线，则 $k=$ $\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(4-k,-7)$。
2. $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(-2k,-2)$。
3. 三点共线 $\iff \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ 共线，即 $(4-k)(-2)-(-7)(-2k)=0$，得 $k=-\frac{2}{3}$。

✅【答案】

Success

$-\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=(4-k,-7)$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}=(-2k,-2)$． 由 $A,B,C$ 三点共线，$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 共线，故 $(4-k)(-2)-(-7)(-2k)=0$， 化简得 $-8+2k-14k=0$，即 $-8-12k=0$，所以 $k=-\frac{2}{3}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三点共线定参数

核心方法：$\overrightarrow{AB}=(4-k,-7)$，$\overrightarrow{AC}=(-2k,-2)$，共线 $\Rightarrow (4-k)(-2)-(-7)(-2k)=0$，得 $k=-\frac{2}{3}$

避坑指南：三点共线用向量共线坐标交叉相等；化简得 $-8-12k=0$，$k=-\frac{2}{3}$，别算错符号

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三点共线定参数是向量基础

结论推广：$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 共线 $\iff$ 坐标交叉相等

方法推广：写出两向量后列共线方程

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-04 单-向量平行
• 2013-陕西卷文-02 单-向量平行求参