2005-全国卷III文-11 单-四定点等距平面计数

本题导读

本题考查空间中的位置关系、点到平面的距离与计数原理。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷III(文)） 不共面的四个定点到平面 $\alpha$ 的距离都相等，这样的平面 $\alpha$ 共有()

A. $3$ 个　　　　　B. $4$ 个　　　　　C. $6$ 个　　　　　D. $7$ 个

🔍【思路分析】

破题导航

1. 把四个定点分成两个非空组，平面 $\alpha$ 是这两组点所在两平行平面的中间平面。
2. 按 $1+3$ 分组：任选一点作单独一组，共 $4$ 种。
3. 按 $2+2$ 分组：$\frac{C_4^2}{2}=3$ 种；共 $4+3=7$ 个。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

把四个定点分成两个非空组，若平面 $\alpha$ 到两组点的距离相等，则两组点分别位于 $\alpha$ 两侧的两平行平面上，$\alpha$ 是这两平行平面的中间平面． 按 $1+3$ 分组时，任选一个点作为单独一组，共有 $4$ 种；按 $2+2$ 分组时，把四点分成两对共有 $\frac{C_4^2}{2}=3$ 种． 因四点不共面，每一种分组都唯一确定相应的中间平面，故共有 $4+3=7$ 个． 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：四定点等距平面计数

核心方法：四定点到平面等距：按 $1+3$ 分组 $4$ 种、按 $2+2$ 分组 $\frac{C_4^2}{2}=3$ 种，共 $7$ 个

避坑指南：把四点分两组（平面为两平行平面的中间平面）；$4+3=7$，别漏 $2+2$ 分组的 $3$ 种

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：四定点等距平面计数是空间计数题

结论推广：四点分两组，每组对应一个中间平面

方法推广：按 $1+3$、$2+2$ 分组分别计数相加

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅱ文-12 单-球截面圆心距
• 2009-大纲Ⅱ文-12 单-正方体展开图