2005-全国卷II理-17 解-指数不等式的解法

本题导读

本题核心考查指数不等式与绝对值不等式的综合求解。利用指数函数的单调性将外层指数关系转化为代数大小关系，再通过零点分段法对绝对值符号进行去绝对值讨论。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(理)） 设函数 $f(x)=2^{|x+1|-|x-1|}$，求使 $f(x)\ge 2\sqrt{2}$ 的 $x$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将右侧常数 $2\sqrt{2}$ 统一写为以 2 为底的指数形式 $2^{\frac{3}{2}}$。
2. 利用底数 $2>1$ 时函数单调递增的性质，将原不等式同解转化为 $|x+1|-|x-1|\ge \frac{3}{2}$。
3. 采用零点分段法，以 $-1$ 和 $1$ 为分界点，分 $x<-1$、$-1\le x<1$、$x\ge 1$ 三种情况去绝对值求解，最后取并集。

✅【答案】

Success

将各区间所得解集取并集，使得 $f(x)\ge 2\sqrt{2}$ 的 $x$ 的取值范围是 $\left[\frac{3}{4},+\infty \right)$

✍【详细解析】

Abstract

因为 $2\sqrt{2}=2^1\times 2^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2}}$， 所以不等式 $f(x)\ge 2\sqrt{2}$ 可化为： $2^{|x+1|-|x-1|}\ge 2^{\frac{3}{2}}$

由于底数 $2>1$，指数函数 $y=2^t$ 在 $\mathbf{R}$ 上严格单调递增，故原不等式等价于： $|x+1|-|x-1|\ge \frac{3}{2}$

令各绝对值号内部的代数式为零，得到分界点 $x=-1$ 和 $x=1$，分区间讨论如下：

① 当 $x<-1$ 时，原不等式化为： $-(x+1)-[-(x-1)]\ge \frac{3}{2}⟹-2\ge \frac{3}{2}$ 此不等式不成立，此时无解；

② 当 $-1\le x<1$ 时，原不等式化为： $(x+1)-[-(x-1)]\ge \frac{3}{2}⟹2x\ge \frac{3}{2}⟹x\ge \frac{3}{4}$ 结合前提条件 $-1\le x<1$，得该区间内的解集为 $\left[\frac{3}{4},1\right)$；

③ 当 $x\ge 1$ 时，原不等式化为： $(x+1)-(x-1)\ge \frac{3}{2}⟹2\ge \frac{3}{2}$ 此不等式恒成立，故整个区间内的元素均满足要求，得解集为 $[1,+\infty )$。

综上所述，将各区间所得解集取并集，使得 $f(x)\ge 2\sqrt{2}$ 的 $x$ 的取值范围是 $\left[\frac{3}{4},+\infty \right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：同底数指数不等式的单调性转化、绝对值不等式的零点分段去掉绝对值符号。
2. 核心方法：分类与整合思想。
3. 避坑指南：

• 易错点在于分段后忘记将解出的不等式结果与当前所处的分段前提区间取交集。
• 最终将各段结果汇总时，要确保区间合并时的端点闭合状态。如 $\left[\frac{3}{4},1\right)$ 与 $[1,+\infty )$ 在点 1 处连续，应整体合并为闭区间 $\left[\frac{3}{4},+\infty \right)$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中关于复合函数单调性应用与含有绝对值不等式解答的典型综合习题，旨在强化多层初等函数嵌套时的分层解耦能力。
2. 结论推广：形如 $g(x)=|x+a|-|x-b|$ （设 $a>b$）的绝对值结构具有平移对称的“梯形”值域特征，其值域为 $[-(a-b),a-b]$。本题中内层函数 $|x+1|-|x-1|$ 的实际取值界限为 $[-2,2]$，因此外层复合函数 $f(x)$ 整体的值域范围为 $\left[2^{-2},2^2\right]=\left[\frac{1}{4},4\right]$。因为 $2\sqrt{2}\approx 2.828\in \left[\frac{1}{4},4\right]$，利用函数图象的水平线阶段特征，可从几何直观上快速锁定并验证单向无界区间结果的精确度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)