2005-全国卷II理-15 填-排列组合与计数原理

本题导读

本题核心考查有限制条件的排列组合计数问题。通过分析“最高位不能为0”与“不能被5整除”的双重位置约束，利用乘法原理或补集思想进行精确计数。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(理)） 在由数字 0, 1, 2, 3, 4, 5 所组成的没有重复数字的四位数中，不能被 5 整除的数共有$\underline{}$个.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 直接位置法：不能被 5 整除意味着个位数字不能是 0 和 5，只能在 1, 2, 3, 4 中选择。优选确定个位，再确定限制最高位（千位不能为0），最后排列其余位置。
2. 间接排除法：先计算由这 6 个数字组成的所有无重复数字的四位数总数，再减去其中能被 5 整除（个位为 0 或 5）的四位数个数。

✅【答案】

Success

192

✍【详细解析】

Abstract

解法一（直接位置法）： 一个四位数从左到右分别为千位、百位、十位、个位。

1. 确定个位：因不能被 5 整除，个位数字只能从 $\{1,2,3,4\}$ 中任选 1 个，有 $C_4^1=4$ 种选法。
2. 确定千位：千位数字不能为 0，且不能与个位数字重复。在剩下的 5 个数字中除去数字 0，还剩 4 个数字可选，有 $C_4^1=4$ 种选法。
3. 确定百位与十位：从剩余的 $6-2=4$ 个数字中任取 2 个排列在百位和十位，有 $A_4^2=4\times 3=12$ 种方法。

根据分步乘法计数原理，符合条件的四位数共有： $4\times 4\times 12=192\text{ 个}$

解法二（间接排除法）：

1. 总数：由 0, 1, 2, 3, 4, 5 组成的无重复数字的四位数总数为 $A_5^1\times A_5^3=5\times (5\times 4\times 3)=300$ 个。
2. 能被 5 整除的数（分为两类）：

• 第一类：个位数字为 0。千位、百位、十位从余下的 5 个数字中任取 3 个排列，共有 $A_5^3=5\times 4\times 3=60$ 个。

• 第二类：个位数字为 5。千位数字不能为 0 且不能为 5，有 4 种选法；百位和十位从余下的 4 个数字中任取 2 个排列，有 $A_4^2=12$ 种方法。此类共有 $4\times 12=48$ 个。

• 能被 5 整除的四位数总数为 $60+48=108$ 个。

3. 求差：不能被 5 整除的四位数共有 $300-108=192$ 个。

答案：192

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：特殊元素（数字0）与特殊位置（个位、千位）的组合计数。
2. 核心方法：优先满足限制条件最多位置（个位），或采用全集扣除补集的方法。
3. 避坑指南：

• 采用直接法时，若先选千位，由于不确定千位是否选了5，会导致个位可选数发生分流，从而必须进行分类讨论，增加繁琐度。
• 采用间接法计算个位是5的偶数时，极易忘记剔除千位为0的不合法情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中排列组合应用题的经典数位计数模型，考查了整除性特征（2、5的整除特征看末位）与基数限制的交叉组合。
2. 结论推广：从 $\{0,1,2,\dots ,n\}$ 共 $n+1$ 个数字中组成无重复数字的 $k$ 位数（$k\le n$），不能被 5 整除的计数可以一般化为：先在非0非5的数字中选出个位，再扣除最高位为0的情形，最终公式化为由 $n$ 的取值决定的齐次乘积形式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)