2005-全国卷II理-09 单-一元二次不等式的解法

本题导读

本题核心考查一元二次不等式的求解以及集合交集的运算。通过因式分解分别求出集合 $M$ 与 $N$ 的解集区间，再利用交集定义确定最终范围。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(理)） 已知集合 $M=\{x|x^2-3x-28\le 0\}$，$N=\{x|x^2-x-6>0\}$，则 $M\cap N$ 为()

A. $\{x|-4\le x<-2\text{ 或 }3<x\le 7\}$　　　　　B. $\{x|-4<x\le -2\text{ 或 }3\le x<7\}$

C. $\{x|x\le -2\text{ 或 }x>3\}$　　　　　　　　D. $\{x|x<-2\text{ 或 }x\ge 3\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用十字相乘法将集合 $M$ 和 $N$ 中的二次多项式因式分解，解出各自的不等式。
2. 结合数轴，求解两个解集区间的公共部分（交集）。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

首先求解集合 $M$ 中的不等式： $x^2-3x-28\le 0⟹(x-7)(x+4)\le 0$ 解得： $-4\le x\le 7$ 所以，集合 $M=\{x|-4\le x\le 7\}$。

接着求解集合 $N$ 中的不等式： $x^2-x-6>0⟹(x-3)(x+2)>0$ 解得： $x<-2$ 或 $x>3$ 所以，集合 $N=\{x|x<-2\text{ 或 }x>3\}$。

求集合 $M$ 与 $N$ 的交集 $M\cap N$： 将区间 $[-4,7]$ 与 $(-\infty ,-2)\cup (3,+\infty )$ 在数轴上取公共部分，得： $-4\le x<-2\text{或}3<x\le 7$ 即 $M\cap N=\{x|-4\le x<-2\text{ 或 }3<x\le 7\}$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：一元二次不等式的基本解法、集合的交集概念。
2. 核心方法：数轴分析法。在处理多区间组合的交并集时，数轴能直观确保边界点不重不漏。
3. 避坑指南：注意开闭区间边界点的包含情况。集合 $M$ 含有等号（闭区间），集合 $N$ 不含等号（开区间），在求交集时，$-2$ 和 $3$ 这两个边界点由于在 $N$ 中取不到，因此在交集中不能包含等号。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中集合运算与一元二次不等式章节的常规基础题，是高考第一阶段对学生运算准确性的定性考查。
2. 结论推广：对于集合 $M=\{x|(x-a)(x-b)\le 0\}$（设 $a<b$）与 $N=\{x|(x-c)(x-d)>0\}$（设 $c<d$）的交集问题，其结果完全取决于 $a,b$ 与 $c,d$ 在数轴上的相对位置关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)