2005-全国卷II理-05 单-复数的代数形式及其四则运算

本题导读

本题核心考查复数除法运算及复数为实数的充要条件，即化简后复数的虚部为零。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(理)） 设 $a、b、c、d\in \mathbf{R}$，若 $\frac{a+bi}{c+di}$ 为实数，则()

A. $bc+ad\ne 0$　B. $bc-ad\ne 0$　C. $bc-ad=0$　D. $bc+ad=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对分式复数进行分母实数化处理，展开并整理成 $A+Bi$ 的标准代数形式。
2. 根据复数为实数的定义，令虚部 $B=0$，得出 $a,b,c,d$ 之间的等量关系。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

将复数进行分母实数化变形： $\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{ac-adi+bci-bd{i}^2}{c^2+d^2}$

由于 $i^2=-1$，分子合并同类项整理得： $\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$

因为该复数为实数，所以其虚部必须为零，即： $\frac{bc-ad}{c^2+d^2}=0$

由于 $a,b,c,d\in \mathbf{R}$ 且分母 $c^2+d^2\ne 0$，从而必有： $bc-ad=0$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数相除的运算法则、复数为实数的代数特征（$\text{Im}(z)=0$）。
2. 核心方法：共轭复数相乘法（分母实数化）。
3. 避坑指南：注意分子中虚部展开时 $bci-adi=(bc-ad)i$ 的字母排列顺序与正负号，避免因粗心将减号错写为加号而误选 D。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中复数代数性质的经典概念题，旨在考查高考生对复数分类及基本四则运算的扎实度。
2. 结论推广：对于非零复数 $z_1=a+bi,z_2=c+di$，商 $\frac{z_1}{z_2}$ 为实数的充要条件是 $z_1$ 与 $z_2$ 在复平面上对应的向量共线，即满足二阶行列式 $\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|=ad-bc=0⟹bc-ad=0$。

🔗【关联脉络】

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• 12.01 数系的扩充与复数

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