2005-全国卷II文-18 解-五局三胜制概率

本题导读

本题考查独立重复试验与互斥事件的概率。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(文)） 甲、乙两队进行一场排球比赛，根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为 $0.6$，本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束，设各局比赛相互间没有影响，求：

(1)前三局比赛甲队领先的概率；

(2)本场比赛乙队以 $3:2$ 取胜的概率．（精确到 $0.001$）

🔍【思路分析】

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1. 设每局甲胜概率 $p=0.6$、乙胜概率 $q=0.4$。
2. （1）前三局甲领先即甲至少胜两局，$P=C_3^2{p}^{2}q+p^3$。
3. （2）乙 $3:2$ 取胜即前四局乙恰胜两局且第五局乙胜，$P=C_4^2{q}^2{p}^2\times q$。

✅【答案】

Success

(1) $0.648$；(2) $0.138$

✍【详细解析】

Abstract

设每局甲队获胜的概率为 $p=0.6$，乙队获胜的概率为 $q=0.4$． （1）前三局甲队领先，表示甲队前三局至少胜两局，故 $P=C_3^2{p}^{2}q+p^3=3\times 0.6^2\times 0.4+0.6^3=0.432+0.216=0.648$． （2）乙队以 $3:2$ 取胜时，前四局乙队恰胜两局且第五局乙队获胜，故 $P=C_4^2{q}^2{p}^2\times q=6\times 0.4^2\times 0.6^2\times 0.4=6\times 0.16\times 0.36\times 0.4=0.13824$， 精确到 $0.001$ 为 $0.138$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：五局三胜制概率

核心方法：（1）前三局甲至少胜两局：$C_3^2{p}^{2}q+p^3=3\times 0.36\times 0.4+0.216=0.648$；（2）乙 3:2 即前四局乙恰胜两局且第五局乙胜：$C_4^2{q}^2{p}^2\times q=0.13824\approx 0.138$

避坑指南：五局三胜”乙 3:2”必须第五局乙胜，前四局乙恰胜两局；$(1)$ 用二项分布 $C_3^2{p}^{2}q+p^3$，别漏 $p^3$ 项

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：五局三胜制是独立重复试验的经典模型

结论推广："$3:2$"必须最后一局胜且前四局胜两局

方法推广：分”恰好”与”至少”两种问法区别对待

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

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