2005-全国卷II文-13 填-等比中项求插入数乘积

本题导读

本题考查等比数列与等比中项。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(文)）在 $\frac{8}{3}$ 和 $\frac{27}{2}$ 之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为．

🔍【思路分析】

破题导航

设五数为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ ，则 $a_{1} = \frac{8}{3}$ ， $a_{5} = \frac{27}{2}$ 。

等比数列中关于中项对称的两项乘积相等， $a_{3}^{2} = a_{1} a_{5} = 36$ 。

$a_{3} > 0$ ，故 $a_{3} = 6$ ；插入三数积 $a_{2} a_{3} a_{4} = a_{3}^{3} = 216$ 。

✅【答案】

Success

$216$

✍【详细解析】

Abstract

设五个数依次为 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ ，则 $a_{1} = \frac{8}{3}$ ， $a_{5} = \frac{27}{2}$ ．等比数列中关于中项对称的两项乘积相等，故 $a_{3}^{2} = a_{1} a_{5} = \frac{8}{3} \times \frac{27}{2} = 36$ ，又 $a_{3} = a_{1} q^{2} > 0$ ，得 $a_{3} = 6$ ．插入的三个数为 $a_{2}, a_{3}, a_{4}$ ，其乘积 $a_{2} a_{3} a_{4} = a_{3}^{3} = 6^{3} = 216$ ．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比中项求插入数乘积

核心方法：五数等比中 $a_{3}^{2} = a_{1} a_{5} = \frac{8}{3} \cdot \frac{27}{2} = 36$ ， $a_{3} = 6$ ；插入三数积 $= a_{2} a_{3} a_{4} = a_{3}^{3} = 216$

避坑指南：等比中项对称两项乘积相等： $a_{2} a_{4} = a_{1} a_{5} = a_{3}^{2} = 36$ ；三数积 $= a_{3}^{3} = 216$ ，别逐项求 $q$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比中项性质的填空典型

结论推广：等比数列中 $a_{n - k} a_{n + k} = a_{n}^{2}$

方法推广：利用对称项乘积相等避开求公比

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

2009-大纲Ⅱ文-13 填-等比数列基本量

2010-大纲Ⅰ文-13 填-分式不等式

∑ ( Math )

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2005-全国卷II文-13 填-等比中项求插入数乘积

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