2005-全国卷II文-08 单-二项展开式指定项系数

本题导读

本题考查二项展开式通项中指定项的系数。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(文)） $(x-\sqrt{2}y{)}^{10}$ 的展开式中 $x^6{y}^4$ 项的系数是()

A. $840$　　　　　　B. $-840$　　　　　　C. $210$　　　　　　D. $-210$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 $T_{k+1}=C_{10}^k{x}^{10-k}(-\sqrt{2}y{)}^k$。
2. 要得到 $x^6{y}^4$，需 $10-k=6$ 且 $k=4$，即 $k=4$。
3. 系数为 $C_{10}^4(-\sqrt{2}{)}^4=210\times 4=840$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

展开式的通项为 $T_{k+1}=C_{10}^k{x}^{10-k}(-\sqrt{2}y{)}^k$． 要得到 $x^6{y}^4$ 项，需 $10-k=6$，$k=4$，故该项系数为 $C_{10}^4(-\sqrt{2}{)}^4=210\times 4=840$． 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项展开式指定项系数

核心方法：通项 $T_{k+1}=C_{10}^k{x}^{10-k}(-\sqrt{2}y{)}^k$，取 $k=4$ 得 $C_{10}^4(-\sqrt{2}{)}^4=210\times 4=840$

避坑指南：系数含 $(-\sqrt{2}{)}^4=4$ 正号；$x^6{y}^4$ 要求 $10-k=6,k=4$，别漏 $(-\sqrt{2}{)}^4$ 或取错 $k$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式定理指定项系数是必考基础

结论推广：通项 $T_{k+1}=C_n^k{a}^{n-k}{b}^k$ 含 $b^k$ 的系数

方法推广：由指数定 $k$，再算 $C_n^k$ 与系数部分的幂

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 11.01 正弦定理

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-03 单-二项式系数
• 2009-大纲Ⅰ文-13 填-二项式系数
• 2010-大纲Ⅰ文-05 单-二项式系数