2005-全国卷I理-18 解-平面与平面垂直的判定

本题导读

本题以直角梯形为底面的四棱锥为载体，考查空间面面垂直的判定及空间角（线线角、二面角）的计算，建立空间直角坐标系可将空间图形关系定量化解决。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(理)） 已知四棱锥 $P-ABCD$ 的底面为直角梯形，$AB\parallel DC$，$\angle DAB=90^{\circ }$，$PA\perp$ 底面 $ABCD$，且 $PA=AD=DC=\frac{1}{2}AB=1$，$M$ 是 $PB$ 的中点.

(1)证明：面 $PAD\perp$ 面 $PCD$；

(2)求 $AC$ 与 $PB$ 所成的角；

(3)求面 $AMC$ 与面 $BMC$ 所成二面角的大小.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：利用 $\angle DAB=90^{\circ }$ 和 $PA\perp$ 底面 $ABCD$ 建立空间直角坐标系，写出各顶点坐标。
2. 第二步逻辑：求出相关直线的方向向量，利用向量数量积公式求解异面直线所成的角。
3. 第三步逻辑：分别求出平面 $AMC$ 与平面 $BMC$（即平面 $PBC$）的法向量，通过计算法向量夹角的余弦值得到二面角的大小。

✅【答案】

Success

(1) 证明见解析（$CD\perp$ 平面 $PAD$，故面 $PAD\perp$ 面 $PCD$）； (2) $\arccos \frac{\sqrt{10}}{5}$； (3) $\arccos \frac{2}{3}$。

✍【详细解析】

Abstract

因为 $\angle DAB=90^{\circ }$ 且 $PA\perp$ 底面 $ABCD$，所以 $AD,AB,PA$ 两两垂直。 以 $A$ 为原点，射线 $AD,AB,AP$ 分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。 由已知 $PA=AD=DC=1$，$AB=2$，可得各点坐标为： $A(0,0,0)$，$D(1,0,0)$，$B(0,2,0)$，$P(0,0,1)$，$C(1,1,0)$。 因为 $M$ 是 $PB$ 的中点，所以 $M\left(0,1,\frac{1}{2}\right)$。

（1）证明： 由坐标得 $\overrightarrow{DC}=(0,1,0)$。 因为 $AB$ 轴垂直于平面 $PAD$，且 $\overrightarrow{DC}$ 与 $y$ 轴正方向向量平行， 所以 $CD\perp$ 平面 $PAD$。 又 $CD\subset$ 平面 $PCD$， 所以平面 $PAD\perp$ 平面 $PCD$。

（2）解： 易得 $\overrightarrow{AC}=(1,1,0)$，$\overrightarrow{PB}=(0,2,-1)$。 则 $|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{2}$，$|\overrightarrow{PB}|=\sqrt{0^2+2^2+(-1{)}^2}=\sqrt{5}$ $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{PB}=1\times 0+1\times 2+0\times (-1)=2$ 设 $AC$ 与 $PB$ 所成的角为 $\theta$，则： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{PB}|}{|\overrightarrow{AC}|\cdot |\overrightarrow{PB}|}=\frac{2}{\sqrt{2}\times \sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$ 所以 $AC$ 与 $PB$ 所成的角为 $\arccos \frac{\sqrt{10}}{5}$。

（3）解： 因点 $M$ 在直线 $PB$ 上，故面 $BMC$ 即为面 $PBC$。 设平面 $AMC$ 的法向量为 ${\vec{n}}_1=(x_1,y_1,z_1)$。 由 $\overrightarrow{AC}=(1,1,0)$，$\overrightarrow{AM}=\left(0,1,\frac{1}{2}\right)$，得： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{AC}=0\\ {\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{AM}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{x}_1+y_1=0\\ y_1+\frac{1}{2}{z}_1=0\end{array}$ 令 $y_1=-1$，解得 ${\vec{n}}_1=(1,-1,2)$。

设平面 $PBC$ 的法向量为 ${\vec{n}}_2=(x_2,y_2,z_2)$。 由 $\overrightarrow{BC}=(1,-1,0)$，$\overrightarrow{PB}=(0,2,-1)$，得： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{BC}=0\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{PB}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{x}_2-y_2=0\\ 2y_2-z_2=0\end{array}$ 令 $y_2=1$，解得 ${\vec{n}}_2=(1,1,2)$。

设面 $AMC$ 与面 $BMC$ 所成二面角为 $\alpha$，由图可知 $\alpha$ 为锐角，则： $\cos \alpha =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{|1\times 1+(-1)\times 1+2\times 2|}{\sqrt{1+1+4}\times \sqrt{1+1+4}}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ 所以面 $AMC$ 与面 $BMC$ 所成二面角的大小为 $\arccos \frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：面面垂直的判定定理、利用空间向量求解线线角与二面角。
2. 核心方法：建系坐标法。将传统的空间形体关系论证转化为向量代数运算。
3. 避坑指南：在第（3）问中，审题时需注意“面 $BMC$”因 $M$ 在棱 $PB$ 上，其实际与“面 $PBC$”为同一平面，直接找平面 $PBC$ 的法向量能简化求交线和定向量的过程。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中直角梯形翻折或立体的标准三垂线定理典型椎体模型，是历年高考立体几何大题的基础骨架。
2. 结论推广：当四棱锥底面为直角梯形且侧棱垂直于底面直角顶点时，该侧棱与底面各边及侧面间存在天然的垂直网格，使用空间直角坐标系可将全题所有空间角问题转化为统一的向量模长与数量积运算。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.01 空间向量及其运算
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)