2005-全国卷I理-14 填-二项式定理

本题导读

本题核心考查二项式定理中特定项（常数项）的求解。通过写出二项展开式的通项公式，将自变量 $x$ 的指数分离并令其为零建立方程，从而求出对应的特定项系数。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(理)） ${\left(2x-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^9$ 的展开式中，常数项为$\underline{}$.（用数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 正确写出二项展开式的通项公式 $T_{r+1}$。
2. 将通项公式中的系数部分与自变量 $x$ 的指数部分分离开，进行化简。
3. 令 $x$ 的指数等于 0 建立方程，解出 $r$ 的值，代入系数中计算求值。

✅【答案】

Success

672

✍【详细解析】

Abstract

根据二项式定理，展开式的通项公式为： $T_{r+1}=C_9^r(2x{)}^{9-r}{\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^r$

将式子中的系数与自变量 $x$ 分离化简得： $T_{r+1}=C_9^r\cdot 2^{9-r}\cdot x^{9-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{-\frac{r}{2}}$ $T_{r+1}=C_9^r\cdot 2^{9-r}\cdot (-1{)}^r\cdot x^{9-\frac{3r}{2}}$

要得到常数项，只需令 $x$ 的指数为 0，即： $9-\frac{3r}{2}=0⟹r=6$

将 $r=6$ 代入系数中，计算该常数项为： $T_7=C_9^6\cdot 2^{9-6}\cdot (-1{)}^6=C_9^3\cdot 2^3\cdot 1=\frac{9\times 8\times 7}{3\times 2\times 1}\times 8=84\times 8=672$

答案：672

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 核心方法：指数待定方程法。
3. 避坑指南：

• 符号遗漏：在写通项时，极易忽略第二项前面的负号，即漏掉 ${\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^r$ 中的 $(-1{)}^r$，导致计算结果正负号出错。
• 指数化简出错：将 $\frac{1}{\sqrt{x}}$ 化为底数指数形式时，应准确写为 $x^{-\frac{1}{2}}$，避免在合并同底数幂时由于分数运算失误导致 $r$ 解出非整数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自教材中二项式定理性质的经典习题，是高考中考查初等代数运算能力的固定题型，具有极高的重现率。
2. 结论推广：对于展开式 ${\left(a{x}^m+\frac{b}{x^n}\right)}^k$，其通项中 $x$ 的指数为 $m(k-r)-nr$。若该展开式中存在常数项，则方程 $mk-(m+n)r=0$ 的解 $r=\frac{mk}{m+n}$ 必须为属于 $[0,k]$ 的整数。

🔗【关联脉络】

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