2005-全国卷I理-07 单-三角函数恒等变形

本题导读

本题核心考查三角函数的恒等变形以及利用基本不等式求函数的最值。通过二倍角公式化简分式结构，将其转化为关于 $\tan x$ 的代数式，再利用均值不等式求解。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(理)） 当 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 时，函数 $f(x)=\frac{1+\cos 2x+8{\sin }^{2}x}{\sin 2x}$ 的最小值为()

A. 2　　　　　　　B. $2\sqrt{3}$　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. $4\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用二倍角公式 $1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x$ 与 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 对原函数进行降幂与展开，化简分子与分母。
2. 将得到的式子拆项，转化为含有 $\tan x$ 与 $\cot x$ 的形式。
3. 利用基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ 求出函数的最小值，并验证等号成立的条件。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x$，$\sin 2x=2\sin x\cos x$， 所以原函数可化简为： $f(x)=\frac{2{\cos }^{2}x+8{\sin }^{2}x}{2\sin x\cos x}=\frac{{\cos }^{2}x+4{\sin }^{2}x}{\sin x\cos x}$

将分子各项分别除以分母得： $f(x)=\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{4\sin x}{\cos x}=\frac{1}{\tan x}+4\tan x$

因为 $0<x<\frac{\pi }{2}$，所以 $\tan x>0$。 由基本不等式得： $f(x)=\frac{1}{\tan x}+4\tan x\ge 2\sqrt{\frac{1}{\tan x}\cdot 4\tan x}=2\sqrt{4}=4$

当且仅当 $\frac{1}{\tan x}=4\tan x$，即 ${\tan }^{2}x=\frac{1}{4}$， 由于 $x\in (0,\frac{\pi }{2})$，$\tan x=\frac{1}{2}$ 时等号成立。 因此，函数的最小值为 4。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角公式的综合应用、基本不等式求最值。
2. 核心方法：利用单角与倍角的关系进行统一，转化成经典的一元“正切”模型。
3. 避坑指南：使用基本不等式求最值时，必须严格验证“一正、二定、三相等”三个条件。特别是“三相等”，需确保使等号成立的 $\tan x=\frac{1}{2}$ 在定义域 $(0,\frac{\pi }{2})$ 内确实有解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中利用三角恒等变换化简后求最值的经典题型。通过二倍角公式将多角、多名问题转化为同角、同名问题，再结合不等式工具解决。
2. 结论推广：对于函数 $f(x)=\frac{1+\cos 2x+2m{\sin }^{2}x}{\sin 2x}$，在 $x\in (0,\frac{\pi }{2})$ 且 $m>0$ 时，化简的一般形式为 $f(x)=\frac{1}{\tan x}+m\tan x$，其最小值为 $2\sqrt{m}$，当且仅当 $\tan x=\frac{1}{\sqrt{m}}$ 时取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)