2005-全国卷I理-03 单-球的截面圆性质

本题导读

本题核心考查球的截面圆半径、球心距与球半径之间的几何关系（直角三角形模型），以及球的表面积公式的直接应用，属于立体几何的基础计算题。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(理)） 一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 $\pi$，则球的表面积为()

A. $8\sqrt{2}\pi$　　　　　　　B. $8\pi$　　　　　　　C. $4\sqrt{2}\pi$　　　　　　　D. $4\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由已知的截面圆面积求出截面圆的半径 $r$。
2. 利用球半径 $R$、球心距 $d$ 与截面圆半径 $r$ 构成的直角三角形关系，通过勾股定理 $R^2=d^2+r^2$ 计算出 $R^2$。
3. 将 $R^2$ 整体代入球的表面积公式 $S=4\pi R^2$ 求解。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设球的半径为 $R$，截面圆的半径为 $r$，球心到截面的距离 $d=1$。

由题意，截面圆的面积为 $\pi$， 则 $\pi r^2=\pi$，解得 $r^2=1$。

根据球的截面性质，球半径、截面圆半径和球心距构成直角三角形，由勾股定理得： $R^2=d^2+r^2=1^2+1=2$

因此，球的表面积为： $S=4\pi R^2=4\pi \times 2=8\pi$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：球的性质（$R^2=d^2+r^2$）及球的表面积公式 $S=4\pi R^2$。
2. 核心方法：构建“球心-截面圆心-截面圆周上一点”所组成的直角三角形进行求解。
3. 避坑指南：在求得 $R^2=2$ 后，无需对 $R$ 进行开方运算，直接作为整体代入表面积公式，可有效减少不必要的计算步骤与出错率。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于高中立体几何教材中关于球的截面性质的基本定理与典型例题，主要测试考生的空间图形向平面图形转化的能力。
2. 结论推广：若截面圆的面积为 $S_{\text{截}}$，球心到该截面的距离为 $d$，则球的表面积可直接推广为通用公式 $S=4S_{\text{截}}+4\pi d^2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

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