2005-全国卷I理-01 单-复数的代数运算

本题导读

本题考查复数的代数运算与几何意义，意在测试复数的除法运算法则及复数在复平面内对应点的位置判定。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(理)） 复数 $z=\frac{-1+\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}-1$ 在复平面内，$z$ 所对应的点在()

A. 第一象限　　　B. 第二象限　　　C. 第三象限　　　D. 第四象限

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用共轭复数对分式部分进行分母实数化，将复数 $z$ 化简为代数形式 $a+b\mathrm{i}$。
2. 提取实部与虚部得到复平面内的对应点坐标 $(a,b)$，从而确定其所属象限。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

对原式进行分母实数化变形： $z=\frac{(-1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}{(1+\mathrm{i})(1-\mathrm{i})}-1$ $z=\frac{-1+\mathrm{i}+\mathrm{i}-{\mathrm{i}}^2}{1-{\mathrm{i}}^2}-1$ 因为 ${\mathrm{i}}^2=-1$，所以： $z=\frac{2\mathrm{i}}{2}-1=-1+\mathrm{i}$ 则复数 $z$ 在复平面内对应的点坐标为 $(-1,1)$，该点位于第二象限。 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数 $z=a+b\mathrm{i}$ 与复平面内点 $(a,b)$ 的一一对应关系。
2. 核心方法：分子分母同乘分母的共轭复数。
3. 避坑指南：化简时需注意 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 的代换，谨防多项式展开时的符号计算失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中复数代数运算与几何意义的基本练习题，属于高考卷首的典型基础题型。
2. 结论推广：已知复数简式 $\frac{-a+b\mathrm{i}}{b+a\mathrm{i}}$（$a^2+b^2\ne 0$），通过分母实数化可推广化简为恒等于 $\mathrm{i}$。

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