2005-全国卷I文-19 解-二次函数解集定参

本题导读

本题考查二次函数与不等式解集，以及待定系数法求参数范围。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(文)） 已知二次函数 $f(x)$ 的二次项系数为 $a$，且不等式 $f(x)>-2x$ 的解集为 $(1,3)$．

(1)若方程 $f(x)+6a=0$ 有两个相等的根，求 $f(x)$ 的解析式；

(2)若 $f(x)$ 的最大值为正数，求 $a$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

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1. $f(x)+2x=a{x}^2+bx+c>0$ 的解集为 $(1,3)$，故 $a<0$ 且 $f(x)+2x=a(x-1)(x-3)$。
2. 展开比较系数：$b=-4a-2$，$c=3a$。 3.（1）$f(x)+6a=0$ 即 $a{x}^2+bx+9a=0$，令判别式为零解 $a$；（2）最大值 $=-a-4-\frac{1}{a}>0$，结合 $a<0$ 解不等式。

✅【答案】

Success

(1) $f(x)=-\frac{x^2}{5}-\frac{6x}{5}-\frac{3}{5}$；(2) $a\in (-\infty ,-2-\sqrt{3})\cup (-2+\sqrt{3},0)$

✍【详细解析】

Abstract

由 $f(x)>-2x$ 的解集为 $(1,3)$，知 $f(x)+2x=a{x}^2+(b+2)x+c>0$ 的解集为 $(1,3)$， 故 $a<0$，且 $1$、$3$ 是方程 $a{x}^2+(b+2)x+c=0$ 的两根， 于是 $f(x)+2x=a(x-1)(x-3)=a{x}^2-4ax+3a$，比较系数得 $b+2=-4a$，$c=3a$，即 $b=-4a-2$，$c=3a$． （1）$f(x)+6a=a{x}^2+bx+9a=0$ 有两个相等的根，故 $\Delta =b^2-36a^2=0$， 即 $(-4a-2{)}^2=36a^2$，$16a^2+16a+4=36a^2$，$20a^2-16a-4=0$，$5a^2-4a-1=0$， 解得 $a=1$ 或 $a=-\frac{1}{5}$．因 $a<0$，取 $a=-\frac{1}{5}$． 此时 $b=-4\times \left(-\frac{1}{5}\right)-2=-\frac{6}{5}$，$c=-\frac{3}{5}$， 故 $f(x)=-\frac{x^2}{5}-\frac{6x}{5}-\frac{3}{5}$． （2）$f(x)=a{x}^2+bx+c$（$a<0$）在 $x=-\frac{b}{2a}$ 处取最大值 $f_{\max }=c-\frac{b^2}{4a}=3a-\frac{(4a+2{)}^2}{4a}=3a-4a-4-\frac{1}{a}=-a-4-\frac{1}{a}$． 由 $f_{\max }>0$：$-a-4-\frac{1}{a}>0$，两边乘 $a$（$a<0$，不等号反向）：$-a^2-4a-1<0$，即 $a^2+4a+1>0$， 解得 $a<-2-\sqrt{3}$ 或 $a>-2+\sqrt{3}$． 又 $a<0$，且 $-2+\sqrt{3}<0$，故 $a$ 的取值范围为 $(-\infty ,-2-\sqrt{3})\cup (-2+\sqrt{3},0)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次函数解集定参

核心方法：由解集 $(1,3)$ 得 $f(x)+2x=a(x-1)(x-3)$（$a<0$），即 $b=-4a-2$、$c=3a$；再由判别式与最大值符号定 $a$

避坑指南：不等式解集为开区间意味着 $a<0$ 且 $1,3$ 是相应方程的根；$f(x)+6a=0$ 有等根用 $\Delta =0$，最大值为正要结合开口方向解不等式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于二次函数、二次方程与二次不等式的联系，教材”二次函数与一元二次方程”综合题

结论推广：一般化：$f(x)>g(x)$ 的解集为区间 $⟺$ 相应二次函数开口与根的位置确定，可用待定系数法反求解析式

方法推广：“三个二次”互化：解集定根、根定系数、系数定图象开口与最值，环环相扣

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.03 专题-恒成立问题
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2008-江西文-12 单-二次函数恒成立
• 2009-广东卷文-21 解-二次函数零点
• 2008-四川文-05 单-绝对值二次不等式
• 2010-大纲Ⅰ文-13 填-分式不等式